Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se um ponto é representado por (x, y) em coordenadas cartesianas (onde x neq 0 ) e ( r, theta ) em coordenadas polares então theta=tg^-1(y / x).

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se, dado um ponto (x,y) em coordenadas cartesianas (com xneq0) e suas coordenadas polares (r,theta), vale sempre
theta = arctan!l(tfracyxr)
O conteúdo aqui é a relação entre as definições de tantheta e a função inversa arctan, considerando o intervalo em que ela é definida.

Passo 2

Nas coordenadas polares definimos
r = raizx^2 + y^2, costheta = xr, sintheta = yr
Daí surge
tantheta = sinthetacostheta = y/rx/r = yx
A solução geral de tantheta = y/x é
theta = arctan!l(tfracyxr) + kpi,
com k inteiro.

Passo 3

A função arctancolonRto(-tfracpi2,tfracpi2) só retorna ângulos nos quadrantes I e IV. Para pontos em II ou III ( x<0), o valor de arctan(y/x) difere do ângulo polar theta por pi. Logo, a fórmula dada só é válida quando x>0.

Passo 4

Por exemplo, tome (x,y)=(-1,1). Então
arctan!l(tfracyxr) = arctan(-1) = -tfracpi4,
mas o ângulo polar correto está em II quadrante, isto é
theta = tfrac3pi4
Logo theta neq arctan(y/x) nesse caso.

Resposta

A afirmação é falsa, pois arctan(y/x) só dá o ângulo certo para x>0. Para x<0 é preciso adicionar pi.

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