Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se um ponto é representado por
em coordenadas cartesianas (onde
) e (
) em coordenadas polares então
.
Se um ponto é representado por
Passo 1
O enunciado pede para avaliar se, dado um ponto
em coordenadas cartesianas (com
) e suas coordenadas polares
, vale sempre
O conteúdo aqui é a relação entre as definições de
e a função inversa
, considerando o intervalo em que ela é definida.
Passo 2
Nas coordenadas polares definimos
Daí surge
A solução geral de
é
com
inteiro.
Passo 3
A função
só retorna ângulos nos quadrantes I e IV. Para pontos em II ou III (
), o valor de
difere do ângulo polar
por
. Logo, a fórmula dada só é válida quando
.
Passo 4
Por exemplo, tome
. Então
mas o ângulo polar correto está em II quadrante, isto é
Logo
nesse caso.
Resposta
A afirmação é falsa, pois
só dá o ângulo certo para
. Para
é preciso adicionar
.