Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
As curvas polares
e
têm o mesmo gráfico.
As curvas polares
Passo 1
O enunciado pede para comparar as curvas polares
e
e determinar se elas representam o mesmo lugar geométrico. O ponto-chave aqui é usar a propriedade de que, em coordenadas polares,
e
descrevem o mesmo ponto no plano.
Passo 2
Observe que, para todo
,
Portanto, se denotamos
temos
Passo 3
Em coordenadas polares, o par
e o par
representam o mesmo ponto. Assim, o ponto
coincide com
Ou seja, cada ponto da segunda curva aparece na primeira, apenas com o ângulo deslocado por
.
Passo 4
Como
percorre todo o intervalo de definição, o conjunto de pontos
coincide exatamente com
. Logo, as duas equações polares têm o mesmo gráfico.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois
e a substituição
não altera o lugar geométrico em coordenadas polares.