Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
As curvas polares r=1-sen 2 theta e r=sen 2 theta-1 têm o mesmo gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para comparar as curvas polares
r = 1 - sin 2theta
e
r = sin 2theta - 1
e determinar se elas representam o mesmo lugar geométrico. O ponto-chave aqui é usar a propriedade de que, em coordenadas polares, (r,theta) e (-r,theta+pi) descrevem o mesmo ponto no plano.

Passo 2

Observe que, para todo theta,
sin 2theta - 1 = -l(1 - sin 2thetar)
Portanto, se denotamos
r1(theta)=1-sin 2theta, r2(theta)=sin 2theta-1,
temos
r2(theta)=-,r1(theta)

Passo 3

Em coordenadas polares, o par (r,theta) e o par (-r,theta+pi) representam o mesmo ponto. Assim, o ponto l(r2(theta),thetar) coincide com
l(-,r1(theta),thetar) = l(r1(theta),theta+pir)
Ou seja, cada ponto da segunda curva aparece na primeira, apenas com o ângulo deslocado por pi.

Passo 4

Como theta percorre todo o intervalo de definição, o conjunto de pontos
(r2(theta),theta) coincide exatamente com
(r1(phi),phi). Logo, as duas equações polares têm o mesmo gráfico.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois r=sin2theta-1=-l(1-sin2thetar) e a substituição (r,theta)mapsto(-r,theta+pi) não altera o lugar geométrico em coordenadas polares.

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