Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A reta tangente a uma parábola intercepta a parábola apenas uma vez.

Passo 1

O enunciado afirma que “a reta tangente a uma parábola intercepta a parábola apenas uma vez”. O conteúdo que vamos usar é o de derivada para obter a reta tangente a uma parábola genérica e depois resolver o sistema que iguala a parábola à sua tangente, mostrando que há uma única solução real (contando multiplicidade).

Passo 2

Seja a parábola genérica
y = f(x) = a x^2 + b x + c,
com aneq0. Em um ponto de abscissa x0, a derivada é
f'(x0) = 2a x0 + b
Logo a reta tangente em x0 tem equação
y = f'(x0),(x - x0) + f(x0) = (2a x0 + b),(x - x0) + l(a x0^2 + b x0 + cr)

Passo 3

Para ver quantas vezes essa reta corta a parábola, igualamos
a x^2 + b x + c = (2a x0 + b),(x - x0) + l(a x0^2 + b x0 + cr)
Desenvolvendo e recolhendo termos, obtemos
a x^2 + b x + c - (2a x0 + b),x + (2a x0 + b),x0 - a x0^2 - b x0 - c =0 ;Longrightarrow; a(x - x0)^2 = 0
Isso mostra que a única solução real é x = x0, com multiplicidade dois.

Passo 4

Como a equação de interseção reduz-se a (x - x0)^2=0, a reta tangente e a parábola têm exatamente um ponto em comum (contando multiplicidade). Geometricamente, isso significa que a tangente “toca” a parábola em um único ponto.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois a união da parábola e de sua reta tangente gera uma equação quadrática com discriminante zero, dando exatamente uma interseção real (dupla).

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