Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A reta tangente a uma parábola intercepta a parábola apenas uma vez.
A reta tangente a uma parábola intercepta a parábola apenas uma vez.
Passo 1
O enunciado afirma que “a reta tangente a uma parábola intercepta a parábola apenas uma vez”. O conteúdo que vamos usar é o de derivada para obter a reta tangente a uma parábola genérica e depois resolver o sistema que iguala a parábola à sua tangente, mostrando que há uma única solução real (contando multiplicidade).
Passo 2
Seja a parábola genérica
com
. Em um ponto de abscissa
, a derivada é
Logo a reta tangente em
tem equação
Passo 3
Para ver quantas vezes essa reta corta a parábola, igualamos
Desenvolvendo e recolhendo termos, obtemos
Isso mostra que a única solução real é
, com multiplicidade dois.
Passo 4
Como a equação de interseção reduz-se a
, a reta tangente e a parábola têm exatamente um ponto em comum (contando multiplicidade). Geometricamente, isso significa que a tangente “toca” a parábola em um único ponto.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois a união da parábola e de sua reta tangente gera uma equação quadrática com discriminante zero, dando exatamente uma interseção real (dupla).