Estude quanto ao máximo ou mínimo as funções:
z=x^2+y^3-4 x-12 y+6

Passo 1

O enunciado pede para estudar quanto a máximo ou mínimo a função
z = x^2 + y^3 - 4x - 12y + 6
O conteúdo é análise de extremos de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e teste da Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
fx = partial zpartial x = 2x - 4, fy = partial zpartial y = 3y^2 - 12
Para encontrar pontos críticos, igualamos a zero:
2x - 4 = 0 implies x = 2, 3y^2 - 12 = 0 implies y^2 = 4 implies y = pm 2
Assim obtêm-se dois pontos críticos (2,2) e (2,-2).

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana:
fxx = 2, fyy = 6y, fxy = 0
O determinante da Hessiana é
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = 2,(6y) - 0 = 12y
Em (2,2) temos y=2 e D = 24>0 com fxx=2>0, logo mínimo local.
Em (2,-2) temos y=-2 e D = -24<0, logo ponto de sela.

Passo 4

Calculamos o valor da função no mínimo local:
z(2,2) = 2^2 + 2^3 - 4cdot2 - 12cdot2 + 6 = 4 + 8 - 8 - 24 + 6 = -14

Passo 5

Como o termo y^3 faz zto+infty para yto+infty e zto-infty para yto-infty, não há extremos globais nem máximos.

Resposta

O único extremo local é um mínimo em (2,2) com valor z=-14. O ponto (2,-2) é ponto de sela. Não há máximos locais nem extremos globais.

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