Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um contra exemplo que mostre que é falsa.
\frac{d}{d x}[f(x) g(x)]=f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado pergunta se vale \dfrac{d}{dx}[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g'(x).
O conteúdo aqui é a regra do produto em diferenciação: para funções f e g deriváveis, precisamos lembrar como se calcula a derivada do produto.

Passo 2

A regra correta do produto diz que
\frac{d}{dx}[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).
A afirmação dada, \frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f'(x)g'(x), omite o termo f'(x)\,g(x) ou f(x)\,g'(x), portanto está em desacordo com a fórmula certa.

Passo 3

Para ver na prática que é falsa, basta um contraexemplo simples. Tome f(x)=x e g(x)=x.
Então
\frac{d}{dx}[x\cdot x] = \frac{d}{dx}[x^2] = 2x
por um lado, e
f'(x)\,g'(x) = 1 \cdot 1 = 1
por outro. Como 2x \neq 1 (salvo num ponto específico), a igualdade pretendida falha.

Resposta

A afirmação é falsa.

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