( \mathbf{5 , 0} pontos) Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^{3}-x^{2}}{(x+1)^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{4x^{3}-x^{2}}{(x+1)^{3}}.
O conteúdo aqui é limite de função racional quando x\to\infty. Para resolver, vamos comparar os graus de x no numerador e no denominador e dividir tudo pela maior potência, que é x^{3}.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{3}:
\frac{4x^{3}-x^{2}}{(x+1)^{3}} =\frac{x^{3}\bigl(4-\tfrac{1}{x}\bigr)}{x^{3}\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)^{3}} =\frac{4-\tfrac{1}{x}}{\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)^{3}}.

Passo 3

Agora avaliamos cada parte quando x\to\infty:
4-\frac{1}{x}\longrightarrow 4, \qquad 1+\frac{1}{x}\longrightarrow 1,
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\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)^{3}\longrightarrow 1^{3}=1.

Passo 4

Portanto o limite da fração é
\frac{4}{1}=4.

Resposta

4

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