Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um contra exemplo que mostre que é falsa.
Se
for derivável, então
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, para toda função
derivável, valeria
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia aplicada à função composta
com
.
Passo 2
Sabemos que
é derivável apenas para
e
Pela regra da cadeia, onde tudo faz sentido, teríamos
Mas isso pressupõe que
(para que
exista e seja não nulo).
Passo 3
Se em algum ponto
tivermos
, então
não é derivável em
(pois
tem derivada infinita em
) e o denominador
fica zero, tornando a expressão inválida. Logo, a fórmula não vale em geral para toda função derivável, apenas nos pontos onde
.
Passo 4
Contraexemplo: seja
(função identicamente zero). Então
mas
o que é indefinido. A fórmula falha.
Resposta
Falsa. A expressão
só vale quando
, para garantir que
seja derivável e o denominador não se anule.