Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um contra exemplo que mostre que é falsa.
Se f for derivável, então
\frac{d}{d x} \sqrt{f(x)}=\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{f(x)}}

Passo 1

O enunciado afirma que, para toda função f derivável, valeria
\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)} \;=\;\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia aplicada à função composta g(u)=\sqrt{u} com u=f(x).

Passo 2

Sabemos que g(u)=\sqrt{u} é derivável apenas para u>0 e
g'(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\quad(u>0).
Pela regra da cadeia, onde tudo faz sentido, teríamos
(g\circ f)'(x)=g'\bigl(f(x)\bigr)\cdot f'(x) =\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}.
Mas isso pressupõe que f(x)>0 (para que \sqrt{f(x)} exista e seja não nulo).

Passo 3

Se em algum ponto x_{0} tivermos f(x_{0})=0, então \sqrt{f(x)} não é derivável em x_{0} (pois \sqrt u tem derivada infinita em u=0) e o denominador 2\sqrt{f(x_{0})} fica zero, tornando a expressão inválida. Logo, a fórmula não vale em geral para toda função derivável, apenas nos pontos onde f(x)>0.

Passo 4

Contraexemplo: seja f(x)=0 (função identicamente zero). Então
\sqrt{f(x)}=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)}=0,
mas
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=\frac{0}{2\cdot0},
o que é indefinido. A fórmula falha.

Resposta

Falsa. A expressão
\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)}=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}
só vale quando f(x)>0, para garantir que \sqrt{f(x)} seja derivável e o denominador não se anule.

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