Use Regra da cadeia para achar as derivadas indicadas:
\frac{d z}{d t} onde z=x^{2}+y^{2}+x y e x=\operatorname{sen}(t) e y=e^{t}

Passo 1

O enunciado pede \frac{dz}{dt} para
z = x^2 + y^2 + x\,y,
onde x = \operatorname{sen}(t) e y = e^t.
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y
\frac{\partial z}{\partial y} = 2y + x

Passo 3

Agora, derivamos x(t) e y(t) em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \cos(t)
\frac{dy}{dt} = e^t

Passo 4

Substituímos na regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} = (2x + y)\,\cos(t) \;+\;(2y + x)\,e^t.

Passo 5

Finalmente, colocamos x = \operatorname{sen}(t) e y = e^t e simplificamos:
\frac{dz}{dt} = \bigl(2\operatorname{sen}(t) + e^t\bigr)\cos(t) + \bigl(2e^t + \operatorname{sen}(t)\bigr)e^t
= 2\operatorname{sen}(t)\cos(t) \;+\; e^t\cos(t) + 2e^{2t} \;+\; \operatorname{sen}(t)\,e^t.

Resposta

\frac{dz}{dt} = \bigl(2\operatorname{sen}(t) + e^t\bigr)\cos(t) + \bigl(2e^t + \operatorname{sen}(t)\bigr)e^t.

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