( \mathbf{5 , 0} pontos) Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1,5} \frac{2 x^{2}-3 x}{|2 x-3|}\

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to1,5}\frac{2x^{2}-3x}{\lvert 2x-3\rvert}
Esse limite é do tipo \tfrac{0}{0}, pois em x=1,5 tanto o numerador quanto o denominador se anulam. Para resolver, vamos fatorar o numerador e estudar os limites laterais, analisando o sinal de 2x-3.

Passo 2

Fatoramos o numerador:
2x^{2}-3x = x\,(2x-3).
Logo a expressão fica
\frac{2x^{2}-3x}{\lvert 2x-3\rvert} = \frac{x\,(2x-3)}{\lvert 2x-3\rvert} = x\;\frac{2x-3}{\lvert 2x-3\rvert}.

Passo 3

Calcular o limite pela direita x\to1,5^{+}.
Para x>1,5 temos 2x-3>0, então \lvert 2x-3\rvert=2x-3 e
\frac{2x-3}{\lvert 2x-3\rvert}=1.
Logo
\lim_{x\to1,5^{+}}\frac{2x^{2}-3x}{\lvert 2x-3\rvert} =\lim_{x\to1,5^{+}}x\cdot1 =1,5.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda x\to1,5^{-}.
Para x<1,5 temos 2x-3<0, então \lvert 2x-3\rvert=-(2x-3) e
\frac{2x-3}{\lvert 2x-3\rvert}=-1.
Logo
\lim_{x\to1,5^{-}}\frac{2x^{2}-3x}{\lvert 2x-3\rvert} =\lim_{x\to1,5^{-}}x\cdot(-1) =-1,5.

Passo 5

Como
\lim_{x\to1,5^{-}}\frac{2x^{2}-3x}{\lvert 2x-3\rvert}=-1,5 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1,5^{+}}\frac{2x^{2}-3x}{\lvert 2x-3\rvert}=1,5,
os limites laterais são diferentes, portanto o limite geral não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{x\to1,5}\frac{2x^{2}-3x}{\lvert 2x-3\rvert} não existe.

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