Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
for uma função, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se toda função
satisfaz a relação
ou seja, se qualquer
é necessariamente aditiva. O conteúdo aqui é equações funcionais — em particular a equação de Cauchy, que caracteriza funções aditivas.
Passo 2
Para ver que a afirmação é falsa, basta um único contraexemplo. Considere a função
e escolha, por exemplo,
e
. Então
enquanto
Como
, a igualdade
falha para esta
.
Passo 3
Em geral, a propriedade
só vale para as chamadas funções aditivas (por exemplo
). Como nem toda função tem essa forma, a afirmação “se
for uma função, então
” é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.