Questão 5 (a) Mostre que
converge para todo
.
(b) Deduza que
para todo
.
(b) Deduza que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que a série
converge para todo
.
2. Deduzir que
2. Deduzir que
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries numéricas (para (a)) e a propriedade de que, se uma série converge, então seu termo geral tende a zero (para (b)).
Passo 2
Definimos o termo geral da série como
Queremos aplicar o teste da razão, que compara
com 1.
Passo 3
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
À medida que
, temos
Passo 4
Como
o teste da razão garante que
converge absolutamente. Logo
converge para todo
.
Passo 5
Uma consequência geral de séries convergentes é que seu termo geral tende a zero. Portanto, do fato de
convergir segue-se automaticamente que
Resposta
(a) A série
converge para todo
pelo teste da razão, já que
.
(b) Da convergência da série segue que .
(b) Da convergência da série segue que