Questão 5 (a) Mostre que \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} converge para todo x.
(b) Deduza que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{n!}=0 para todo x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}
converge para todo x\in\mathbb{R}.
2. Deduzir que
\lim_{n\to\infty}\frac{x^{n}}{n!}=0.
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries numéricas (para (a)) e a propriedade de que, se uma série converge, então seu termo geral tende a zero (para (b)).

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
a_{n} = \frac{x^{n}}{n!}.
Queremos aplicar o teste da razão, que compara \lvert a_{n+1}/a_{n}\rvert com 1.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_{n}\rvert} = \frac{\lvert x\rvert^{n+1}/(n+1)!}{\lvert x\rvert^{n}/n!} = \frac{\lvert x\rvert}{n+1}.
À medida que n\to\infty, temos
\frac{\lvert x\rvert}{n+1}\;\longrightarrow\;0.

Passo 4

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_{n}\rvert}=0<1,
o teste da razão garante que \sum a_{n} converge absolutamente. Logo
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
converge para todo x.

Passo 5

Uma consequência geral de séries convergentes é que seu termo geral tende a zero. Portanto, do fato de \sum a_{n} convergir segue-se automaticamente que
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{x^{n}}{n!}=0.

Resposta

(a) A série \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}/n! converge para todo x pelo teste da razão, já que \lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_{n}|=0<1.
(b) Da convergência da série segue que \lim_{n\to\infty}x^{n}/n!=0.

Exercícios relacionados