Exercício 4. Considere as funções
e a equação diferencial
a) Mostre que
e
são soluções da equação diferencial 1 .
b) Mostre que
e
são ambas soluções para a equação diferencial 1 em que
e
são constantes reais.
c) Mostre que
são ambas soluções para a equação diferencial 1 em que
e
são constantes reais.
b) Mostre que
c) Mostre que
Passo 1
O enunciado considera a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis
e as funções
e
.
O conteúdo necessário é:
– Calcular derivadas de ordem 1 e 2 de cada candidata.
– Usar a linearidade da equação (princípio da superposição).
O conteúdo necessário é:
– Calcular derivadas de ordem 1 e 2 de cada candidata.
– Usar a linearidade da equação (princípio da superposição).
Passo 2
Verificamos que
. Então
Substituindo em
obtemos
Logo
satisfaz a equação.
Passo 3
Verificamos que
. Então
Substituindo em
obtemos
Logo
também satisfaz a equação.
Passo 4
Para
, como derivadas resultam em
e
, a substituição dá
O mesmo raciocínio vale para
. Assim,
e
são soluções.
Passo 5
Para a combinação linear
, a eq. diferencial satisfaz
Pelo princípio da superposição,
é solução.
Resposta
a)
e
satisfazem a equação.
b) e
são soluções também.
c) é solução da equação diferencial.
b)
c)