Exercício 4. Considere as funções y_{1}=x^{2}, y_{2}=x^{3} e a equação diferencial
x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0
a) Mostre que y_{1} e y_{2} são soluções da equação diferencial 1 .
b) Mostre que c_{1} y_{1} e c_{2} y_{2} são ambas soluções para a equação diferencial 1 em que c_{1} e c_{2} são constantes reais.
c) Mostre que y=c_{1} y_{1}+c_{2} y_{2} são ambas soluções para a equação diferencial 1 em que c_{1} e c_{2} são constantes reais.

Passo 1

O enunciado considera a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis
x^{2}y''-4x\,y'+6y=0
e as funções \;y_{1}=x^{2} e \;y_{2}=x^{3}.
O conteúdo necessário é:
– Calcular derivadas de ordem 1 e 2 de cada candidata.
– Usar a linearidade da equação (princípio da superposição).

Passo 2

Verificamos que \;y_{1}(x)=x^{2}. Então
y_{1}'(x)=2x, \quad y_{1}''(x)=2.
Substituindo em
x^{2}y''-4x\,y'+6y
obtemos
x^{2}\cdot2 \;-\;4x\cdot(2x)\;+\;6\,(x^{2}) =2x^{2}-8x^{2}+6x^{2}=0.
Logo \;y_{1} satisfaz a equação.

Passo 3

Verificamos que \;y_{2}(x)=x^{3}. Então
y_{2}'(x)=3x^{2}, \quad y_{2}''(x)=6x.
Substituindo em
x^{2}y''-4x\,y'+6y
obtemos
x^{2}\cdot(6x)\;-\;4x\cdot(3x^{2})\;+\;6\,(x^{3}) =6x^{3}-12x^{3}+6x^{3}=0.
Logo \;y_{2} também satisfaz a equação.

Passo 4

Para \;c_{1}y_{1}, como derivadas resultam em c_{1}y_{1}' e c_{1}y_{1}'', a substituição dá
x^{2}(c_{1}y_{1}'')-4x(c_{1}y_{1}')+6(c_{1}y_{1}) =c_{1}\bigl[x^{2}y_{1}''-4x\,y_{1}'+6y_{1}\bigr] =c_{1}\cdot0=0.
O mesmo raciocínio vale para c_{2}y_{2}. Assim, c_{1}y_{1} e c_{2}y_{2} são soluções.

Passo 5

Para a combinação linear y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}, a eq. diferencial satisfaz
x^{2}y''-4x\,y'+6y =c_{1}\bigl[x^{2}y_{1}''-4x\,y_{1}'+6y_{1}\bigr] +c_{2}\bigl[x^{2}y_{2}''-4x\,y_{2}'+6y_{2}\bigr] = c_{1}\cdot0 + c_{2}\cdot0 =0.
Pelo princípio da superposição, y é solução.

Resposta

a) \;y_{1}=x^{2} e \;y_{2}=x^{3} satisfazem a equação.
b) \;c_{1}y_{1} e \;c_{2}y_{2} são soluções também.
c) \;y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2} é solução da equação diferencial.

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