Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
6. Se f e g são funções, então f \circ g=g \circ f.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer duas funções f e g, vale sempre
f\circ g \;=\; g\circ f.
Isso envolve o conteúdo de composição de funções e a questão da comutatividade.

Passo 2

Lembrando a definição: para cada x no domínio comum,
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\text{e}\quad (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
Como g(x) e f(x) são, em geral, expressões diferentes, não há garantia de que trocar a ordem não altere o resultado.

Passo 3

Vamos dar um contraexemplo em \mathbb{R}. Defina
f(x)=x+1 \quad\text{e}\quad g(x)=2x.
Então
(f\circ g)(x)=f\bigl(2x\bigr)=2x+1
e
(g\circ f)(x)=g\bigl(x+1\bigr)=2(x+1)=2x+2.
Como 2x+1\neq2x+2 para todo x, concluímos que
f\circ g\neq g\circ f.

Resposta

A afirmação é falsa; a composição de funções, em geral, não é comutativa, como mostra o contraexemplo acima.

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