Dada a função polinomial p: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, p(x)=x^{3}+x^{2}+x+1, calcule:
p(x+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a composição da função polinomial p(x)=x^3+x^2+x+1 avaliando em x+1. O conteúdo aqui é aplicação de substituição e uso do Teorema Binomial para expandir potências de soma.

Passo 2

Substituímos x por x+1 na definição de p:
p(x+1) = (x+1)^3 + (x+1)^2 + (x+1) + 1.

Passo 3

Agora usamos o Teorema Binomial para expandir as potências:
(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1,
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1.

Passo 4

Somando todos os termos semelhantes vindos de (x+1)^3 + (x+1)^2 + (x+1) + 1 obtemos:
x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + x^2 + 2x + 1 + x + 1 + 1 = x^3 + 4x^2 + 6x + 4.

Resposta

p(x+1) = x^3 + 4x^2 + 6x + 4.

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