Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa:
Informações dadas relevantes:
A pergunta é: a igualdade entre o limite do quociente e o quociente dos limites vale neste caso?
Passo 2
Regra geral (teorema de limites que precisamos lembrar): se
e
com
, então
Explicação didática: a propriedade de quociente das limites só é válida quando o limite do denominador existe e é diferente de zero; caso contrário a divisão
não faz sentido (se
) ou a propriedade não se aplica. Por isso, antes de usar a fórmula, devemos calcular
e checar se é diferente de zero.
Passo 3
Calculemos os limites separados (avaliando as funções em
):
Portanto o quociente dos limites seria
, que é uma forma indeterminada e não um número bem definido. Logo, a condição
do teorema não é satisfeita; não podemos aplicar a regra do quociente dos limites aqui.
Passo 4
Mesmo que o quociente dos limites seja indeterminado, o limite da fração original pode existir. Vamos calcular diretamente
por simplificação algébrica (método típico em provas quando aparece
).
Fatore numerador e denominador:
Essas fatorações podem ser verificadas multiplicando os fatores; por exemplo
.
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a expressão simplificada:
Como o limite depende só do comportamento quando
se aproxima de
(e não do valor no próprio
), podemos usar a função simplificada para tirar o limite:
Passo 5
Confrontando os resultados:
- O limite da fração original é
. - O quociente dos limites é
, que é indeterminado (portanto não igual a ).
Isso mostra que a igualdade proposta no enunciado não vale neste caso: a propriedade do quociente dos limites não se aplica porque o limite do denominador é zero.
Resposta
Falsa.
, enquanto
(indeterminado).