Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+6 x-7}{x^{2}+5 x-6}=\frac{lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+6 x-7\right)}{lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+5 x-6\right)}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6} = \frac{\lim_{x\to 1}\left(x^{2}+6x-7\right)}{\lim_{x\to 1}\left(x^{2}+5x-6\right)}.
Informações dadas relevantes:
\text{Numerador da fração: }x^{2}+6x-7, \qquad \text{Denominador da fração: }x^{2}+5x-6.çãçã
A pergunta é: a igualdade entre o limite do quociente e o quociente dos limites vale neste caso?

Passo 2

Regra geral (teorema de limites que precisamos lembrar): se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Explicação didática: a propriedade de quociente das limites só é válida quando o limite do denominador existe e é diferente de zero; caso contrário a divisão L/M não faz sentido (se M=0) ou a propriedade não se aplica. Por isso, antes de usar a fórmula, devemos calcular \lim_{x\to a} g(x) e checar se é diferente de zero.

Passo 3

Calculemos os limites separados (avaliando as funções em x=1):
\lim_{x\to 1}\left(x^{2}+6x-7\right)=1^{2}+6\cdot 1-7=1+6-7=0,
\lim_{x\to 1}\left(x^{2}+5x-6\right)=1^{2}+5\cdot 1-6=1+5-6=0.
Portanto o quociente dos limites seria \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada e não um número bem definido. Logo, a condição M\neq 0 do teorema não é satisfeita; não podemos aplicar a regra do quociente dos limites aqui.

Passo 4

Mesmo que o quociente dos limites seja indeterminado, o limite da fração original pode existir. Vamos calcular diretamente \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6} por simplificação algébrica (método típico em provas quando aparece 0/0).
Fatore numerador e denominador:
x^{2}+6x-7=(x-1)(x+7),
x^{2}+5x-6=(x-1)(x+6).
Essas fatorações podem ser verificadas multiplicando os fatores; por exemplo (x-1)(x+7)=x^{2}+6x-7.
Para x\neq 1 podemos cancelar o fator comum (x-1), obtendo a expressão simplificada:
\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6}=\frac{(x-1)(x+7)}{(x-1)(x+6)}=\frac{x+7}{x+6}\quad (x\neq 1).
Como o limite depende só do comportamento quando x se aproxima de 1 (e não do valor no próprio x=1), podemos usar a função simplificada para tirar o limite:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6} = \lim_{x\to 1}\frac{x+7}{x+6}=\frac{1+7}{1+6}=\frac{8}{7}.

Passo 5

Confrontando os resultados:
  • O limite da fração original é \dfrac{8}{7}.
  • O quociente dos limites é \dfrac{0}{0}, que é indeterminado (portanto não igual a \dfrac{8}{7}).
Isso mostra que a igualdade proposta no enunciado não vale neste caso: a propriedade do quociente dos limites não se aplica porque o limite do denominador é zero.

Resposta

Falsa. \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6}=\frac{8}{7}, enquanto \displaystyle \frac{\lim_{x\to 1}(x^{2}+6x-7)}{\lim_{x\to 1}(x^{2}+5x-6)}=\frac{0}{0} (indeterminado).

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