Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
lim _{x \rightarrow 4}\left(\frac{2 x}{x-4}-\frac{8}{x-4}\right)=lim _{x \rightarrow 4} \frac{2 x}{x-4}-lim _{x \rightarrow 4} \frac{8}{x-4}

Passo 1

O enunciado apresenta a igualdade entre dois limites e pede para determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa:
\lim_{x\to 4}\left(\frac{2x}{x-4}-\frac{8}{x-4}\right)=\lim_{x\to 4}\frac{2x}{x-4}-\lim_{x\to 4}\frac{8}{x-4}.
Informações dadas:
  • A expressão à esquerda é a diferença de duas funções: \dfrac{2x}{x-4} e \dfrac{8}{x-4}.
  • O ponto de interesse é x=4, onde ambas as funções têm denominador zero (ou seja, são indefinidas em x=4).
    Pergunta a responder:
  • A igualdade acima entre o limite da diferença e a diferença dos limites é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão que aparece dentro do limite à esquerda, para ver o que ela realmente vale quando x\neq 4.
Calcule a diferença das frações com o mesmo denominador:
\frac{2x}{x-4}-\frac{8}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}.
Fatorando 2 no numerador:
\frac{2x-8}{x-4}=\frac{2(x-4)}{x-4}.
Como estamos considerando x\to 4 e não x=4, podemos cancelar x-4 (válido para x\neq 4):
\frac{2(x-4)}{x-4}=2 \qquad\text{para }x\neq 4.
Ou seja, a função dentro do limite à esquerda é identicamente 2 sempre que x é diferente de 4.

Passo 3

Usando o resultado do passo anterior, o limite à esquerda é simplesmente o limite de uma constante:
\lim_{x\to 4}\left(\frac{2x}{x-4}-\frac{8}{x-4}\right)=\lim_{x\to 4}2=2.
Explicando devagar: a função é igual a 2 para todo x próximo de 4 (exceto exatamente em 4), e o limite de uma função constante ao se aproximar de um ponto é justamente essa constante.

Passo 4

Agora vamos analisar os limites separados que aparecem no lado direito da igualdade proposta:
\lim_{x\to 4}\frac{2x}{x-4}\quad\text{e}\quad\lim_{x\to 4}\frac{8}{x-4}.
É importante verificar se esses limites existem (no sentido finito). Para isso, analisamos as duas “direções” (laterais).
Para \dfrac{8}{x-4}:
  • Se x\to 4^+ (pela direita), x-4>0 e pequeno, então \dfrac{8}{x-4}\to +\infty.
  • Se x\to 4^- (pela esquerda), x-4<0 e pequeno em módulo, então \dfrac{8}{x-4}\to -\infty.
    Logo, o limite \lim_{x\to 4}\dfrac{8}{x-4} não existe como número finito (os limites laterais são divergentes e com sinais opostos).
Para \dfrac{2x}{x-4}:
Note que perto de x=4 o numerador 2x está próximo de 8, então o comportamento é parecido com \dfrac{8}{x-4}:
  • Se x\to 4^+, \dfrac{2x}{x-4}\to +\infty.
  • Se x\to 4^-, \dfrac{2x}{x-4}\to -\infty.
    Portanto, \lim_{x\to 4}\dfrac{2x}{x-4} também não existe como número finito.

Passo 5

Agora lembrando uma condição importante sobre limites: a lei que permite separar limites diz que, se \lim_{x\to a}f(x) e \lim_{x\to a}g(x) existem e são finitos, então
\lim_{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x).
A hipótese essencial é que os dois limites individuais existam como números reais finitos. Se um (ou ambos) dos limites individuais divergem (por exemplo para \pm\infty) ou não existem, não podemos aplicar esta lei — a expressão da direita fica sem sentido (por exemplo (+\infty)-(+\infty) é indefinida).

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso: os dois limites individuais do lado direito,
\lim_{x\to 4}\dfrac{2x}{x-4} e \lim_{x\to 4}\dfrac{8}{x-4}, não existem (são divergentes). Portanto a expressão
\lim_{x\to 4}\frac{2x}{x-4}-\lim_{x\to 4}\frac{8}{x-4}
não está bem definida como uma diferença de números reais; não podemos computá-la usando a lei dos limites. Já o limite da diferença (o lado esquerdo) existe e vale 2 (conforme vimos no Passo 3). Logo, comparar os dois lados mostra que a igualdade proposta é falsa.

Resposta

Falsa. O limite à esquerda vale 2, enquanto os dois limites separados do lado direito não existem (divergem), logo a igualdade não vale.

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