Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
O enunciado apresenta a igualdade entre dois limites e pede para determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa:
Informações dadas:
- A expressão à esquerda é a diferença de duas funções:
e . - O ponto de interesse é
, onde ambas as funções têm denominador zero (ou seja, são indefinidas em ).
Pergunta a responder: - A igualdade acima entre o limite da diferença e a diferença dos limites é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão que aparece dentro do limite à esquerda, para ver o que ela realmente vale quando
.
Calcule a diferença das frações com o mesmo denominador:
Calcule a diferença das frações com o mesmo denominador:
Fatorando
no numerador:
Como estamos considerando
e não
, podemos cancelar
(válido para
):
Ou seja, a função dentro do limite à esquerda é identicamente
sempre que
é diferente de
.
Passo 3
Usando o resultado do passo anterior, o limite à esquerda é simplesmente o limite de uma constante:
Explicando devagar: a função é igual a
para todo
próximo de
(exceto exatamente em
), e o limite de uma função constante ao se aproximar de um ponto é justamente essa constante.
Passo 4
Agora vamos analisar os limites separados que aparecem no lado direito da igualdade proposta:
É importante verificar se esses limites existem (no sentido finito). Para isso, analisamos as duas “direções” (laterais).
Para
:
- Se
(pela direita), e pequeno, então . - Se
(pela esquerda), e pequeno em módulo, então .
Logo, o limitenão existe como número finito (os limites laterais são divergentes e com sinais opostos).
Para
:
Note que perto de o numerador
está próximo de
, então o comportamento é parecido com
:
Note que perto de
- Se
, . - Se
, .
Portanto,também não existe como número finito.
Passo 5
Agora lembrando uma condição importante sobre limites: a lei que permite separar limites diz que, se
e
existem e são finitos, então
A hipótese essencial é que os dois limites individuais existam como números reais finitos. Se um (ou ambos) dos limites individuais divergem (por exemplo para
) ou não existem, não podemos aplicar esta lei — a expressão da direita fica sem sentido (por exemplo
é indefinida).
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso: os dois limites individuais do lado direito,
e
, não existem (são divergentes). Portanto a expressão
não está bem definida como uma diferença de números reais; não podemos computá-la usando a lei dos limites. Já o limite da diferença (o lado esquerdo) existe e vale
(conforme vimos no Passo 3). Logo, comparar os dois lados mostra que a igualdade proposta é falsa.
Resposta
Falsa. O limite à esquerda vale
, enquanto os dois limites separados do lado direito não existem (divergem), logo a igualdade não vale.