Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f é contínua em a, então |f| também o é.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte afirmação: “Se f é contínua em a, então |f| também o é.”\n
Informações dadas:
Temos uma função f.
Sabemos que f é contínua no ponto a, isto é, \lim_{x\to a} f(x)=f(a).\n
O que o problema pede:
Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Se for verdadeira, justificar por que |f| é contínua em a; se for falsa, dar um contraexemplo ou explicar por que falha.
Passo 2
Vou começar lembrando o que significa ser contínuo num ponto (aquela ideia que tem que estar fresquinha pra prova). A definição é:
\text{\(f\) é contínua em \(a\)} \iff \forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\;\text{tal que}\;|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Ou, equivalentemente, \lim_{x\to a} f(x)=f(a).\n
A estratégia natural é mostrar que a função valor absoluto g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por g(t)=|t| é contínua em t=f(a); então |f| = g\circ f será composição de contínuas e, por um teorema padrão, contínua em a. Vou fazer isso com cuidado (passo a passo), e também darei uma prova direta usando uma desigualdade útil.
Passo 3
Primeiro, provemos uma desigualdade muito útil: para quaisquer números reais x e y vale
\bigl|\,|x|-|y|\,\bigr| \le |x-y|.
Essa desigualdade é chamada de desigualdade triangular reversa e ela é fácil de provar a partir da desigualdade triangular normal. Prova rápida: pela desigualdade triangular,
Trocando x e y obtemos |y|-|x| \le |x-y|. Combinando as duas desigualdades vem
-|x-y| \le |x|-|y| \le |x-y|,
ou seja exatamente
\bigl|\,|x|-|y|\,\bigr| \le |x-y|.
Passo 4
Agora use essa desigualdade para mostrar que g(t)=|t| é contínua em qualquer ponto t_0. Pegue um \varepsilon>0. Se tomarmos \delta=\varepsilon, então para qualquer t com |t-t_0|<\delta temos, pela desigualdade do passo anterior,
Portanto \lim_{t\to t_0} |t| = |t_0|, isto é, g é contínua em t_0. Como t_0 foi arbitrário, g é contínua em toda \mathbb{R}.
Passo 5
Agora aplicamos o teorema da composição de funções: se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então g\circ f é contínua em a. Já mostramos que g(t)=|t| é contínua para todo t, em particular em t=f(a). Como f é contínua em a por hipótese, concluímos que
|f| = g\circ f
é contínua em a.
Passo 6
Para reforçar a intuição, aqui vai uma prova direta e curta sem falar em composição: usando a desigualdade do passo 3 com x=f(x) e y=f(a) (sim, o mesmo símbolo x como variável de entrada, fica ok), obtemos
\bigl|\,|f(x)|-|f(a)|\,\bigr| \le |f(x)-f(a)|.
Como f é contínua em a, dado qualquer \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta implica |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Logo para esse \delta teremos |x-a|<\delta\Rightarrow \bigl|\,|f(x)|-|f(a)|\,\bigr|<\varepsilon. Isso mostra que |f| é contínua em a. É direto e elegante — ótimo para a prova.
Passo 7
Resumo e conclusão curta (e um empurrãozinho de moral): a operação “pegar o valor absoluto” não cria saltos — ela é uma função contínua. Compor uma função contínua com outra contínua dá contínua. Então se f é contínua em a, |f| também é. Você pode guardar a desigualdade
\bigl|\,|x|-|y|\,\bigr| \le |x-y|
no bolso: ela resolve vários problemas desse tipo rapidinho na prova.