\text{integração definida com limites } x=\frac{3}{8} \text{ e } x=\frac{2}{3},
\text{o integrando é } \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+1}}.
Passo 2
Motivação da substituição trigonométrica (aula rápida): quando aparece uma raiz da forma \sqrt{a^{2}+u^{2}}, uma substituição conveniente é u=a\tan\theta. Aqui temos \sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{(2x)^{2}+1}, então tomamos a substituição
Explicando as variáveis: \theta é a nova variável (ângulo), \tan\theta é a tangente desse ângulo; essa substituição transforma a raiz em secante usando a identidade trigonométrica \tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Passo 3
Calcular dx em função de d\theta e simplificar a raiz:
Observação: esses ângulos estão no primeiro quadrante, logo \tan\theta>0 e \operatorname{sec}\theta>0, o que facilita o uso do logaritmo depois (não precisamos nos preocupar com valor absoluto trocando de sinal).
Integração de \operatorname{sec}\theta (mini-aula): uma forma padrão de integrar \operatorname{sec}\theta é multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta e usar substituição. Mostro o passo chave:
Agora faça u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta. Então du=(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta, que é exatamente o numerador. Logo
Agora precisamos avaliar \operatorname{sec}\theta+\tan\theta em \theta_{1}=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right) e \theta_{2}=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right). Para \theta_{1}: \tan\theta_{1}=\frac{3}{4}. Use um triângulo retângulo com catetos 3 e 4, hipotenusa 5, então