Integral por Substituições Trigonométricas:
\int_{\frac{3}{8}}^{\frac{2}{3}} \frac{d x}{\sqrt{4 x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\frac{3}{8}}^{\frac{2}{3}} \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+1}}.
Informações dadas:
\text{integração definida com limites } x=\frac{3}{8} \text{ e } x=\frac{2}{3},çã
\text{o integrando é } \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+1}}.é

Passo 2

Motivação da substituição trigonométrica (aula rápida): quando aparece uma raiz da forma \sqrt{a^{2}+u^{2}}, uma substituição conveniente é u=a\tan\theta. Aqui temos \sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{(2x)^{2}+1}, então tomamos a substituição
2x=\tan\theta \quad\text{ou seja}\quad x=\frac{1}{2}\tan\theta.
Explicando as variáveis: \theta é a nova variável (ângulo), \tan\theta é a tangente desse ângulo; essa substituição transforma a raiz em secante usando a identidade trigonométrica \tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta.

Passo 3

Calcular dx em função de d\theta e simplificar a raiz:
x=\frac{1}{2}\tan\theta \implies dx=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Usando a identidade \tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta, a raiz fica
\sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{\tan^{2}\theta+1}=\operatorname{sec}\theta.

Passo 4

Mudar os limites de integração. Como fizemos 2x=\tan\theta, então \theta=\arctan(2x).
Calculemos os dois limites:
\theta_{1}=\arctan\!\left(2\cdot\frac{3}{8}\right)=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right),
\theta_{2}=\arctan\!\left(2\cdot\frac{2}{3}\right)=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right).
Observação: esses ângulos estão no primeiro quadrante, logo \tan\theta>0 e \operatorname{sec}\theta>0, o que facilita o uso do logaritmo depois (não precisamos nos preocupar com valor absoluto trocando de sinal).

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
\int_{\frac{3}{8}}^{\frac{2}{3}} \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+1}} =\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \frac{\frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}\theta} =\frac{1}{2}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 6

Integração de \operatorname{sec}\theta (mini-aula): uma forma padrão de integrar \operatorname{sec}\theta é multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta e usar substituição. Mostro o passo chave:
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta =\int \frac{\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta =\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Agora faça u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta. Então du=(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta, que é exatamente o numerador. Logo
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta=\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|+C.

Passo 7

Aplicando a antiderivada à integral transformada:
\frac{1}{2}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \operatorname{sec}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\Big[\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|\Big]_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}.
Agora precisamos avaliar \operatorname{sec}\theta+\tan\theta em \theta_{1}=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right) e \theta_{2}=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right). Para \theta_{1}: \tan\theta_{1}=\frac{3}{4}. Use um triângulo retângulo com catetos 3 e 4, hipotenusa 5, então
\operatorname{sec}\theta_{1}=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{adjacente}}=\frac{5}{4}.
Logo
\operatorname{sec}\theta_{1}+\tan\theta_{1}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=\frac{8}{4}=2.
Para \theta_{2}: \tan\theta_{2}=\frac{4}{3}. Use triângulo com catetos 4 e 3, hipotenusa 5, então
\operatorname{sec}\theta_{2}=\frac{5}{3},
e
\operatorname{sec}\theta_{2}+\tan\theta_{2}=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}=\frac{9}{3}=3.

Passo 8

Substituindo esses valores:
\frac{1}{2}\Big[\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|\Big]_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} =\frac{1}{2}\big(\ln 3 - \ln 2\big) =\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)

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