Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
é contínua em
, então
também o é.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta: “Se
é contínua em
, então
também o é?”
Dados relevantes que o enunciado dá (resumidos):
Dados relevantes que o enunciado dá (resumidos):
- Sabemos que a função
é contínua no ponto . - Precisamos decidir se isso garante que
seja contínua em .
Passo 2
Vou lembrar o que significa "contínua em
" e um fato útil sobre valor absoluto.
- Definição (intuitiva e formal mínima): dizemos que uma função
é contínua em se os valores de quando se aproxima de se aproximam de . Formalmente, é contínua em se, para todo , existe tal que implica . - Fato sobre valor absoluto: a função
dada por é contínua em todo ponto real. Consequência: se é contínua em , então a composição é contínua em . Ou seja, contínua implica contínua. (Isto é o que costuma ser fácil; a questão é perguntar se a recíproca vale.)
Passo 3
A afirmação recíproca (se
Escolhemos (a=0].]
Passo 4
Mostro que
é contínua em
. Para todo
temos
pois
e
. Assim
é a função constante
em todo
. Função constante é contínua em todo ponto, logo
é contínua em
.
Passo 5
Mostro que
não é contínua em
. Calculo os limites laterais:
Como os limites laterais são diferentes, o limite
não existe. Em particular, não é igual a
. Logo
não é contínua em
. Portanto temos um exemplo concreto em que
é contínua em
mas
não é — a afirmação é falsa.
Passo 6
Para fixar a intuição: por que isso acontece? A operação valor absoluto “apaga” o sinal;
só vê a magnitude de
, não se ela é positiva ou negativa. Assim
pode ser muito bem-behaved (contínua) mesmo quando
oscila entre valores positivos e negativos perto de
. No exemplo,
salta de
para
em
, mas
permanece igual a
.
Passo 7
Observação útil (quando a recíproca dá certo): se
é contínua em
e além disso
não muda de sinal numa vizinhança de
(isto é, existe um
tal que
para todo
com
, ou então
nessa vizinhança), então
é contínua em
. Explicação curta: se
perto de
, então
nessa vizinhança e, como
é contínua,
também o será ali; caso contrário
perto de
e também se conclui continuidade. Portanto falta apenas garantir que o sinal de
seja constante perto de
.
Resposta
Falsa