Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se |f| é contínua em a, então f também o é.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Se |f| é contínua em a, então f também o é?”
Dados relevantes que o enunciado dá (resumidos):
  • Sabemos que a função |f| é contínua no ponto a.
  • Precisamos decidir se isso garante que f seja contínua em a.

Passo 2

Vou lembrar o que significa "contínua em a" e um fato útil sobre valor absoluto.
  • Definição (intuitiva e formal mínima): dizemos que uma função g é contínua em a se os valores de g(x) quando x se aproxima de a se aproximam de g(a). Formalmente, g é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta implica |g(x)-g(a)|<\varepsilon.
  • Fato sobre valor absoluto: a função |\cdot|\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por x\mapsto |x| é contínua em todo ponto real. Consequência: se f é contínua em a, então a composição |f| = |\cdot|\circ f é contínua em a. Ou seja, f contínua implica |f| contínua. (Isto é o que costuma ser fácil; a questão é perguntar se a recíproca vale.)

Passo 3

A afirmação recíproca (se |f|\) contínua em \(a\) então \(f\) contínua em \(a\)) é, em geral, falsa. Vou dar um contraexemplo explícito e simples que mostra isso. Defina a função \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)=\begin{cases} -1, & x<0,\\[4pt] 1, & x\ge 0. \end{cases}
Escolhemos (a=0].]

Passo 4

Mostro que |f| é contínua em 0. Para todo x temos
|f(x)| = 1,
pois |-1|=1 e |1|=1. Assim |f| é a função constante 1 em todo \mathbb{R}. Função constante é contínua em todo ponto, logo |f| é contínua em 0.

Passo 5

Mostro que f não é contínua em 0. Calculo os limites laterais:
\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1, \qquad \lim_{x\to 0^+} f(x) = 1.
Como os limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to0} f(x) não existe. Em particular, não é igual a f(0)=1. Logo f não é contínua em 0. Portanto temos um exemplo concreto em que |f| é contínua em a mas f não é — a afirmação é falsa.

Passo 6

Para fixar a intuição: por que isso acontece? A operação valor absoluto “apaga” o sinal; |f| só vê a magnitude de f, não se ela é positiva ou negativa. Assim |f| pode ser muito bem-behaved (contínua) mesmo quando f oscila entre valores positivos e negativos perto de a. No exemplo, f salta de -1 para 1 em 0, mas |f| permanece igual a 1.

Passo 7

Observação útil (quando a recíproca dá certo): se |f| é contínua em a e além disso f não muda de sinal numa vizinhança de a (isto é, existe um \delta>0 tal que f(x)\ge 0 para todo x com |x-a|<\delta, ou então f(x)\le 0 nessa vizinhança), então f é contínua em a. Explicação curta: se f(x)\ge0 perto de a, então f(x)=|f(x)| nessa vizinhança e, como |f| é contínua, f também o será ali; caso contrário f(x)=-|f(x)| perto de a e também se conclui continuidade. Portanto falta apenas garantir que o sinal de f seja constante perto de a.

Resposta

Falsa

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