Encontre o limite.
\lim _{x \rightarrow \pi-} \ln (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\pi^-}\ln(\operatorname{sen}x).
Informações dadas e o que importa aqui:
  • A variável x tende para \pi pela esquerda (ou seja, x<\pi e x\to\pi).
  • A expressão é o logaritmo natural de \operatorname{sen}x, então precisamos saber como \operatorname{sen}x se comporta quando x se aproxima de \pi por valores menores.

Passo 2

Fazemos a substituição simples que facilita a análise: defina
t=\pi-x.
Quando x\to\pi^- temos t\to 0^+ (positivo, indo para zero). Reescrevendo a função em função de t,
\ln(\operatorname{sen}x)=\ln(\operatorname{sen}(\pi-t)).

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica \operatorname{sen}(\pi-t)=\operatorname{sen}t. Portanto o limite fica
\lim_{x\to\pi^-}\ln(\operatorname{sen}x)=\lim_{t\to 0^+}\ln(\operatorname{sen}t).
Ou seja, precisamos estudar o comportamento de \ln(\operatorname{sen}t) quando t vai para 0^+.

Passo 4

Agora vamos ver como \operatorname{sen}t se comporta para t pequeno e positivo. Dois fatos padrão e úteis (e fáceis de entender geometricamente ou por concavidade da função seno em [0,\pi/2]) são:
\frac{2}{\pi}\,t \le \operatorname{sen}t \le t\qquad\text{para }0<t\le\frac{\pi}{2}.
Breve explicação intuitiva:
  • \operatorname{sen}t\le t é clássico: em um círculo unitário a altura do ponto na circunferência (seno) é menor que o comprimento do arco subtendido por t.
  • A desigualdade \operatorname{sen}t\ge\frac{2}{\pi}t vem do fato de que \operatorname{sen}t é função côncava em [0,\pi/2], então ela fica acima da corda que liga (0,0) a (\pi/2,1); essa corda tem equação y=(2/\pi)t.

Passo 5

Tomamos logaritmo nas desigualdades (log é crescente), obtendo para 0<t\le\pi/2:
\ln\!\left(\frac{2}{\pi}t\right)\le \ln(\operatorname{sen}t)\le \ln t.
Agora analisamos os limites das extremidades quando t\to 0^+:
\lim_{t\to 0^+}\ln t = -\infty
e
\lim_{t\to 0^+}\ln\!\left(\frac{2}{\pi}t\right)=\ln\!\left(\frac{2}{\pi}\right)+\lim_{t\to0^+}\ln t = -\infty.
Como ambas as funções limite das bordas tendem para -\infty, pelo teorema do confronto (squeeze) concluímos que
\lim_{t\to 0^+}\ln(\operatorname{sen}t)=-\infty.

Passo 6

Voltando à variável original x (lembrando t=\pi-x), obtemos
\lim_{x\to\pi^-}\ln(\operatorname{sen}x)=-\infty.

Resposta

-\infty

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