Encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que importa aqui:
- A variável
tende para pela esquerda (ou seja, e ). - A expressão é o logaritmo natural de
, então precisamos saber como se comporta quando se aproxima de por valores menores.
Passo 2
Fazemos a substituição simples que facilita a análise: defina
Quando
temos
(positivo, indo para zero). Reescrevendo a função em função de
,
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica
. Portanto o limite fica
Ou seja, precisamos estudar o comportamento de
quando
vai para
.
Passo 4
Agora vamos ver como
se comporta para
pequeno e positivo. Dois fatos padrão e úteis (e fáceis de entender geometricamente ou por concavidade da função seno em
) são:
Breve explicação intuitiva:
-
é clássico: em um círculo unitário a altura do ponto na circunferência (seno) é menor que o comprimento do arco subtendido por . - A desigualdade
vem do fato de que é função côncava em , então ela fica acima da corda que liga a ; essa corda tem equação .
Passo 5
Tomamos logaritmo nas desigualdades (log é crescente), obtendo para
:
Agora analisamos os limites das extremidades quando
:
e
Como ambas as funções limite das bordas tendem para
, pelo teorema do confronto (squeeze) concluímos que
Passo 6
Voltando à variável original
(lembrando
), obtemos