Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se a reta x=1 for uma assíntota vertical de y=f(x), então f não está definida em 1 .

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
“A reta \,x=1\, for uma assíntota vertical de y=f(x), então f não está definida em 1.”
Informações dadas:
  • Temos uma função f.
  • Sabe-se apenas que a reta \,x=1\, é uma assíntota vertical de y=f(x).
  • A pergunta é: a partir disso podemos concluir que f não está definida em 1?

Passo 2

Definição precisa (explicação didática): o que significa "a reta \,x=a\, é assíntota vertical de y=f(x)"?
  • Dizemos que \,x=a\, é uma assíntota vertical de f se, pelo menos de um dos lados, os valores de f(x) crescem (ou decrescem) sem limite quando x se aproxima de a. Em símbolos, isso é tipicamente expresso como uma das condições seguintes:
\lim_{x\to a^-} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to a^-} f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to a^+} f(x)=-\infty.
Basta que pelo menos uma dessas quatro igualdades ocorra para que exista uma assíntota vertical em x=a.
  • Intuição simples: “assíntota vertical” fala do comportamento de f(x) quando x se aproxima de a, mas esse comportamento é medido olhando pontos com x próximos de a e diferentes de a. A definição de limite não usa o valor f(a) — ela só olha para f(x) com x perto de a e x\neq a.

Passo 3

Explicação sobre estar definido em a versus comportamento limite: por que o valor f(a) não entra na definição do limite?
  • Quando dizemos \lim_{x\to a} f(x)=L (ou \pm\infty), a definição formal só considera valores de f(x) para x diferentes de a mas arbitrariamente próximos de a. Logo, mudar ou definir f(a) de qualquer forma não altera o limite. Isso é importante: o valor em a é totalmente independente do que acontece com os limites laterais.
  • Consequência prática: é possível que a função tenha um comportamento que tende a \pm\infty quando x\to a (assíntota vertical) e, mesmo assim, alguém tenha escolhido atribuir um valor finito para f(a). Esse valor não impede a existência da assíntota vertical.

Passo 4

Construção de um contraexemplo concreto e simples (passo a passo):
Defino a função f\) assim: \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x-1}, & x\neq 1,\\[6pt] 0, & x=1. \end{cases}
  • Observe que eu explicitei que f(1)=0\]. Portanto \(f está definida em 1.
Agora calculo os limites laterais (mostrando que há assíntota vertical em x=1):
  • Para x>1 temos x-1>0, então \dfrac{1}{x-1} é positivo e quando x\to 1^+ o denominador (x-1)\to 0^+, portanto
\lim_{x\to 1^+}\dfrac{1}{x-1}=+\infty.
  • Para x<1 temos x-1<0, então \dfrac{1}{x-1} é negativo e quando x\to 1^- o denominador (x-1)\to 0^-, portanto
\lim_{x\to 1^-}\dfrac{1}{x-1}=-\infty.
Como pelo menos uma (na verdade as duas) das limite laterais divergem para \pm\infty, concluímos que \,x=1\, é uma assíntota vertical de y=f(x).
Mas lembrando: eu defini f(1)=0, ou seja, f está definida em 1 e tem valor finito ali. Portanto temos um exemplo onde existe assíntota vertical em x=1 e, mesmo assim, f(1) está definido. Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa.]

Passo 5

Comentário final e generalização (didático e útil para prova):
  • Regra prática para a prova: a existência de uma assíntota vertical em x=a informa apenas sobre o comportamento de f(x) para x próximos de a com x\neq a. Não impõe nada sobre se f(a) está definido ou qual é o seu valor. Portanto não se pode deduzir que f não está definida em a.
  • Observação adicional: se alguém disser que f “tem uma descontinuidade infinita” em a, isto fala do limite. Mas a presença ou ausência do valor f(a) é uma decisão sobre o domínio/definição da função, independente do limite.

Resposta

Falsa

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