Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se a reta
for uma assíntota vertical de
, então
não está definida em 1 .
Se a reta
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
“A reta
for uma assíntota vertical de
, então
não está definida em
.”
Informações dadas:
- Temos uma função
. - Sabe-se apenas que a reta
é uma assíntota vertical de . - A pergunta é: a partir disso podemos concluir que
não está definida em ?
Passo 2
Definição precisa (explicação didática): o que significa "a reta
é assíntota vertical de
"?
- Dizemos que
é uma assíntota vertical de se, pelo menos de um dos lados, os valores de crescem (ou decrescem) sem limite quando se aproxima de . Em símbolos, isso é tipicamente expresso como uma das condições seguintes:
Basta que pelo menos uma dessas quatro igualdades ocorra para que exista uma assíntota vertical em
.
- Intuição simples: “assíntota vertical” fala do comportamento de
quando se aproxima de , mas esse comportamento é medido olhando pontos com próximos de e diferentes de . A definição de limite não usa o valor — ela só olha para com perto de e .
Passo 3
Explicação sobre estar definido em
versus comportamento limite: por que o valor
não entra na definição do limite?
-
Quando dizemos
(ou ), a definição formal só considera valores de para diferentes de mas arbitrariamente próximos de . Logo, mudar ou definir de qualquer forma não altera o limite. Isso é importante: o valor em é totalmente independente do que acontece com os limites laterais. -
Consequência prática: é possível que a função tenha um comportamento que tende a
quando (assíntota vertical) e, mesmo assim, alguém tenha escolhido atribuir um valor finito para . Esse valor não impede a existência da assíntota vertical.
Passo 4
Construção de um contraexemplo concreto e simples (passo a passo):
Defino a função
- Observe que eu explicitei que
está definida em
.
Agora calculo os limites laterais (mostrando que há assíntota vertical em
):
- Para
temos , então é positivo e quando o denominador , portanto
- Para
temos , então é negativo e quando o denominador , portanto
Como pelo menos uma (na verdade as duas) das limite laterais divergem para
, concluímos que
é uma assíntota vertical de
.
Mas lembrando: eu defini
, ou seja,
está definida em
e tem valor finito ali. Portanto temos um exemplo onde existe assíntota vertical em
e, mesmo assim,
está definido. Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa.]
Passo 5
Comentário final e generalização (didático e útil para prova):
-
Regra prática para a prova: a existência de uma assíntota vertical em
informa apenas sobre o comportamento de para próximos de com . Não impõe nada sobre se está definido ou qual é o seu valor. Portanto não se pode deduzir que não está definida em . -
Observação adicional: se alguém disser que
“tem uma descontinuidade infinita” em , isto fala do limite. Mas a presença ou ausência do valor é uma decisão sobre o domínio/definição da função, independente do limite.
Resposta
Falsa