Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a igualdade
é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um exemplo mostrando a falsidade.
Informações relevantes do enunciado:
A expressão do lado esquerdo é a diferença de duas frações com denominador
.
O enunciado compara o limite da diferença com a diferença dos limites individuais.
Passo 2
Teoria importante (a regra que precisamos conhecer): a propriedade linear dos limites diz que, sempre que
e
existirem como números finitos, então
Explicação didática: isso significa que podemos somar (ou subtrair) limites apenas quando os limites de cada parcela existem e são finitos. Se um ou ambos os limites individuais não existirem (por exemplo, divergem para
ou não têm limite), então essa regra não pode ser usada. Na prova, a estratégia sensata é primeiro tentar simplificar a expressão antes de aplicar regras de soma/subtração de limites.
Passo 3
Calcule o lado esquerdo diretamente, simplificando a expressão antes de tomar o limite.
Começamos juntando as frações (temos mesmo denominador
):
Fatorando o numerador:
logo, para
,
Portanto a função dentro do limite é identicamente
para
, e assim
Passo 4
Agora examine os limites individuais do lado direito para ver se a operação de subtrair limites é permitida.
Considere
. Para estudar isso, é útil olhar as duas aproximações laterais.
-
Se
(pela direita), então é muito pequeno e está próximo de (positivo), logo . -
Se
(pela esquerda), então é muito pequeno (em valor absoluto) e está próximo de positivo, logo .
Portanto
não existe como número finito (as duas laterais divergem com sinais opostos).
O mesmo ocorre com
: para
tende a
e para
tende a
; logo também não existe como número finito.
Passo 5
Conclusão lógica: no lado direito da igualdade proposta estamos pedindo a diferença de dois limites que não existem (são divergentes/infinito). A propriedade de linearidade dos limites só permite separar a diferença em diferenças dos limites quando esses limites individuais existem e são finitos. Aqui eles não existem, então a operação à direita não faz sentido (não é um número bem definido) enquanto o lado esquerdo é
.
Adicionalmente, observe que nas aproximações pela direita ambos os termos individuais tendem a
, e
é uma forma indeterminada; pelas esquerdas ambos tendem a
, e
também é indeterminado. Portanto não podemos calcular a diferença dos limites individuais.
Passo 6
Exemplo explícito (já está implícito no próprio enunciado): o par de funções
e
dá um contraexemplo direto: a expressão completa tem limite
(lado esquerdo), mas
e
não existem (logo a expressão do lado direito não é igual a
).
Resposta
Falso.