Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
\lim _{x \rightarrow 4}\left(\frac{2 x}{x-4}-\frac{8}{x-4}\right)=\lim _{x \rightarrow 4} \frac{2 x}{x-4}-\lim _{x \rightarrow 4} \frac{8}{x-4}

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a igualdade
\lim_{x\to 4}\left(\frac{2x}{x-4}-\frac{8}{x-4}\right)=\lim_{x\to 4}\frac{2x}{x-4}-\lim_{x\to 4}\frac{8}{x-4}
é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um exemplo mostrando a falsidade.
Informações relevantes do enunciado:
\displaystyle A expressão do lado esquerdo é a diferença de duas frações com denominador \displaystyle (x-4).
\displaystyle O enunciado compara o limite da diferença com a diferença dos limites individuais.

Passo 2

Teoria importante (a regra que precisamos conhecer): a propriedade linear dos limites diz que, sempre que \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existirem como números finitos, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x).
Explicação didática: isso significa que podemos somar (ou subtrair) limites apenas quando os limites de cada parcela existem e são finitos. Se um ou ambos os limites individuais não existirem (por exemplo, divergem para \pm\infty ou não têm limite), então essa regra não pode ser usada. Na prova, a estratégia sensata é primeiro tentar simplificar a expressão antes de aplicar regras de soma/subtração de limites.

Passo 3

Calcule o lado esquerdo diretamente, simplificando a expressão antes de tomar o limite.
Começamos juntando as frações (temos mesmo denominador (x-4)):
\frac{2x}{x-4}-\frac{8}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}.
Fatorando o numerador:
2x-8=2(x-4),
logo, para x\neq 4,
\frac{2x-8}{x-4}=\frac{2(x-4)}{x-4}=2.
Portanto a função dentro do limite é identicamente 2 para x\neq 4, e assim
\lim_{x\to 4}\left(\frac{2x}{x-4}-\frac{8}{x-4}\right)=\lim_{x\to 4}2=2.

Passo 4

Agora examine os limites individuais do lado direito para ver se a operação de subtrair limites é permitida.
Considere \displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{2x}{x-4}. Para estudar isso, é útil olhar as duas aproximações laterais.
  • Se x\to 4^+ (pela direita), então x-4>0 é muito pequeno e 2x está próximo de 8 (positivo), logo \displaystyle\frac{2x}{x-4}\to +\infty.
  • Se x\to 4^- (pela esquerda), então x-4<0 é muito pequeno (em valor absoluto) e 2x está próximo de 8 positivo, logo \displaystyle\frac{2x}{x-4}\to -\infty.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{2x}{x-4} não existe como número finito (as duas laterais divergem com sinais opostos).
O mesmo ocorre com \displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{8}{x-4}: para x\to 4^+ tende a +\infty e para x\to 4^- tende a -\infty; logo também não existe como número finito.

Passo 5

Conclusão lógica: no lado direito da igualdade proposta estamos pedindo a diferença de dois limites que não existem (são divergentes/infinito). A propriedade de linearidade dos limites só permite separar a diferença em diferenças dos limites quando esses limites individuais existem e são finitos. Aqui eles não existem, então a operação à direita não faz sentido (não é um número bem definido) enquanto o lado esquerdo é 2.
Adicionalmente, observe que nas aproximações pela direita ambos os termos individuais tendem a +\infty, e +\infty - +\infty é uma forma indeterminada; pelas esquerdas ambos tendem a -\infty, e -\infty - (-\infty) também é indeterminado. Portanto não podemos calcular a diferença dos limites individuais.

Passo 6

Exemplo explícito (já está implícito no próprio enunciado): o par de funções f(x)=\dfrac{2x}{x-4} e g(x)=\dfrac{8}{x-4} dá um contraexemplo direto: a expressão completa tem limite 2 (lado esquerdo), mas \lim f e \lim g não existem (logo a expressão do lado direito não é igual a 2).

Resposta

Falso.

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