Explique o significado de cada uma das notações
Passo 1
O enunciado pede que eu explique o significado das duas notações seguintes:
e
As informações dadas são exatamente essas duas expressões; a tarefa é dizer o que cada uma quer dizer, de forma intuitiva e também formal.
Passo 2
Intuição rápida e amigável:
- A notação
diz que, quando se aproxima de (pela esquerda e pela direita), os valores de crescem sem limite — ficam maiores do que qualquer número grande que você escolha. Não significa que exista ou seja igual a infinito; significa só que perto de a função sobe muito. - A notação
diz que, quando se aproxima de pela direita (ou seja, com e cada vez mais perto de ), os valores de vão para : ficam negativos e com módulo arbitrariamente grande (ou seja, “muito negativos”). É uma aproximação só pelo lado direito.
Passo 3
Agora a versão formal (aquelas definições que caem na prova). Primeiro a para
:
significa, por definição, que
Explicando as peças:
é um número positivo arbitrário que representa “quão grande” você quer que
seja;
é uma distância em
da qual eu garanto essa grandeza. A condição
significa que estamos olhando para pontos
diferentes de
, porém suficientemente perto de
. Se para todo
eu conseguir encontrar um
assim, então
cresce sem limite quando
.
Passo 4
E a versão para
com limite lateral:
significa, formalmente,
(Aqui usei
só para não confundir com o
anterior; pode-se usar
também.) A condição
restringe
a aproximar-se de
somente pela direita. A desigualdade
diz que
é tão negativo quanto você quiser.
Passo 5
Diferença importante entre “limite igual a infinito” e “valor da função”:
- Dizer
não significa que exista um número real que seja . Na matemática padrão não chamamos de valor da função; dizemos apenas que fica arbitrariamente grande perto de . Pode ser que nem exista ou seja finito. - Limite para
é uma forma de dizer que a função é não-limitada (unbounded) perto do ponto.
Passo 6
Exemplos concretos (úteis para a prova — se pedirem, você mostra direto assim):
- Tome
. Então . Por quê? Se você quer então basta exigir . Porque é equivalente a . Assim, escolhendo obtemos a condição formal. - Tome
. Para pequeno (isto é, ) temos que fica muito negativo; de fato . Prova rápida: para pedir basta ter , ou seja . Então escolha .
Passo 7
Observações finais e dicas de prova (motivadoras):
- Para provar um limite que dá
siga o molde: “pegar um arbitrário e mostrar um em função de que garante quando ”. Para limites laterais troque por ou por . - Se os dois lados (esquerdo e direito) existirem e forem ambos
, então . Se os lados divergirem de sinais diferentes, o limite não existe (nem como número nem como ). - Você está indo bem — prática com os exemplos acima ajuda muito: pratique provar formalmente usando a definição com
e .