Explique o significado de cada uma das notações
\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=\infty \text { e } \lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x)=-\infty .

Passo 1

O enunciado pede que eu explique o significado das duas notações seguintes:
\lim_{x\to 3} f(x)=\infty
e
\lim_{x\to 4^{+}} f(x)=-\infty.
As informações dadas são exatamente essas duas expressões; a tarefa é dizer o que cada uma quer dizer, de forma intuitiva e também formal.

Passo 2

Intuição rápida e amigável:
  • A notação \lim_{x\to 3} f(x)=\infty diz que, quando x se aproxima de 3 (pela esquerda e pela direita), os valores de f(x) crescem sem limite — ficam maiores do que qualquer número grande que você escolha. Não significa que f(3) exista ou seja igual a infinito; significa só que perto de 3 a função sobe muito.
  • A notação \lim_{x\to 4^{+}} f(x)=-\infty diz que, quando x se aproxima de 4 pela direita (ou seja, com x>4 e x cada vez mais perto de 4), os valores de f(x) vão para -\infty: ficam negativos e com módulo arbitrariamente grande (ou seja, “muito negativos”). É uma aproximação só pelo lado direito.

Passo 3

Agora a versão formal (aquelas definições que caem na prova). Primeiro a para +\infty:
\lim_{x\to 3} f(x)=\infty
significa, por definição, que
\text{para todo }M>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }0<|x-3|<\delta\text{ então }f(x)>M.ã
Explicando as peças: M é um número positivo arbitrário que representa “quão grande” você quer que f(x) seja; \delta é uma distância em x da qual eu garanto essa grandeza. A condição 0<|x-3|<\delta significa que estamos olhando para pontos x diferentes de 3, porém suficientemente perto de 3. Se para todo M eu conseguir encontrar um \delta assim, então f(x) cresce sem limite quando x\to3.

Passo 4

E a versão para -\infty com limite lateral:
\lim_{x\to 4^{+}} f(x)=-\infty
significa, formalmente,
\text{para todo }N>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }0<x-4<\delta\text{ então }f(x)<-N.ã
(Aqui usei N>0 só para não confundir com o M anterior; pode-se usar M também.) A condição 0<x-4<\delta restringe x a aproximar-se de 4 somente pela direita. A desigualdade f(x)<-N diz que f(x) é tão negativo quanto você quiser.

Passo 5

Diferença importante entre “limite igual a infinito” e “valor da função”:
  • Dizer \lim_{x\to 3} f(x)=\infty não significa que exista um número real \infty que seja f(3). Na matemática padrão não chamamos \infty de valor da função; dizemos apenas que f(x) fica arbitrariamente grande perto de 3. Pode ser que f(3) nem exista ou seja finito.
  • Limite para \infty é uma forma de dizer que a função é não-limitada (unbounded) perto do ponto.

Passo 6

Exemplos concretos (úteis para a prova — se pedirem, você mostra direto assim):
  • Tome f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}. Então \lim_{x\to 3} f(x)=\infty. Por quê? Se você quer f(x)>M então basta exigir |x-3|<\dfrac{1}{\sqrt{M}}. Porque f(x)=1/(x-3)^2> M é equivalente a |x-3|<1/\sqrt{M}. Assim, escolhendo \delta=1/\sqrt{M} obtemos a condição formal.
  • Tome g(x)=-\dfrac{1}{x-4}. Para x>4 pequeno (isto é, x\to4^{+}) temos g(x)=-1/(x-4) que fica muito negativo; de fato \lim_{x\to4^{+}} g(x)=-\infty. Prova rápida: para pedir g(x)<-N basta ter 1/(x-4)>N, ou seja x-4<1/N. Então escolha \delta=1/N.

Passo 7

Observações finais e dicas de prova (motivadoras):
  • Para provar um limite que dá +\infty siga o molde: “pegar um M>0 arbitrário e mostrar um \delta em função de M que garante f(x)>M quando 0<|x-a|<\delta”. Para limites laterais troque 0<|x-a|<\delta por 0<x-a<\delta ou por 0<a-x<\delta.
  • Se os dois lados (esquerdo e direito) existirem e forem ambos +\infty, então \lim_{x\to a} f(x)=\infty. Se os lados divergirem de sinais diferentes, o limite não existe (nem como número nem como \pm\infty).
  • Você está indo bem — prática com os exemplos acima ajuda muito: pratique provar formalmente usando a definição com M e \delta.

Resposta

\lim_{x\to 3} f(x)=\infty: significa que, para todo M>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, temos f(x)>M; isto é, f(x) cresce sem limite quando x se aproxima de 3.
\lim_{x\to 4^{+}} f(x)=-\infty: significa que, para todo N>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<x-4<\delta, temos f(x)<-N; isto é, f(x) fica arbitrariamente negativo quando x se aproxima de 4 pela direita.

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