Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se
for contínua em
e
e
, então existe um número
tal que
e
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação 1:
é contínua em . - Informação 2:
. - Informação 3:
. - Pergunta: determinar se a afirmação "existe um número
tal que e " é verdadeira ou falsa.
Nada mais foi pedido. Vamos usar só essas informações para decidir se tal
existe.
Passo 2
Vou explicar o conceito-chave que vamos usar: o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Primeiro, o que significa continuidade aqui, de maneira simples e prática:
- Dizer que
é contínua em significa que para qualquer ponto a função não “salta”: o valor de quando se aproxima de tende exatamente para . Em provas normalmente usamos a continuidade como hipótese para aplicar o TVI sem precisar reaprovar coisas técnicas.
Agora o enunciado do Teorema do Valor Intermediário (forma prática que usamos em provas):
- Teorema do Valor Intermediário (TVI): se
é contínua em um intervalo fechado e é qualquer número entre e (isto é, ou ), então existe pelo menos um ponto tal que .
Explicando as letras do TVI:
-
é a função contínua; -
é o intervalo onde é contínua; -
e são os valores da função nas extremidades; -
é o valor intermediário que queremos que a função atinja; - O TVI garante existência de um ponto
estritamente interno com .
Intuição rápida e amigável: se você tem um fio tenso ligando dois pontos em alturas diferentes e não corta o fio, então ao mover-se continuamente do lado esquerdo ao direito você passa por todas as alturas entre as duas extremidades. O TVI formaliza isso para funções contínuas.
Passo 3
Vamos checar as hipóteses do TVI para o nosso problema, tomando
,
e
:
- Hipótese 1 do TVI:
é contínua em . Isso é dado no enunciado. - Hipótese 2 do TVI: precisamos que
esteja entre e . Do enunciado temos e .
Agora verificamos numericamente que
fica entre esses valores:
- Sabemos que
, logo
isto é,
está estritamente entre
e
.
Portanto todas as hipóteses do TVI estão satisfeitas:
contínua em
e
entre
e
.
Passo 4
Aplicando o TVI com as escolhas acima, concluímos que existe pelo menos um
em
tal que
Como
isso é equivalente a
. Esse ponto
é exatamente o
pedido no enunciado.
Não precisamos construir
explicitamente para garantir sua existência — o TVI garante que ao menos um existe.
Passo 5
Para deixar mais concreto e ver que a afirmação não é só teórica, montei um exemplo simples que satisfaz as condições e para o qual encontramos explicitamente o
.
Considere a função linear
Verificações:
-
. -
. -
é contínua (é uma reta).
Resolver
:
Numericamente, com
,
que satisfaz
. Esse exemplo concreto mostra a existência explícita do
no caso linear; o TVI garante a existência para qualquer função contínua com as mesmas condições.
Passo 6
Resumo final do raciocínio que você deve usar na prova (passo a passo curto para decorar):
- Verifique continuidade em
. - Calcule
e e veja se o valor desejado está entre eles. - Se estiver, aplique o TVI para afirmar que existe
com .
No nosso problema:, , , e realmente , então existe com .
Resposta
Verdadeira — existe
com
tal que
.