Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se f for contínua em [-1,1] e f(-1)=4 e f(1)=3, então existe um número r tal que |r|<1 e f(r)=\pi.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: f é contínua em [-1,1].
  • Informação 2: f(-1)=4.
  • Informação 3: f(1)=3.
  • Pergunta: determinar se a afirmação "existe um número r tal que |r|<1 e f(r)=\pi" é verdadeira ou falsa.
Nada mais foi pedido. Vamos usar só essas informações para decidir se tal r existe.

Passo 2

Vou explicar o conceito-chave que vamos usar: o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Primeiro, o que significa continuidade aqui, de maneira simples e prática:
  • Dizer que f é contínua em [-1,1] significa que para qualquer ponto x_0\in[-1,1] a função não “salta”: o valor de f(x) quando x se aproxima de x_0 tende exatamente para f(x_0). Em provas normalmente usamos a continuidade como hipótese para aplicar o TVI sem precisar reaprovar coisas técnicas.
Agora o enunciado do Teorema do Valor Intermediário (forma prática que usamos em provas):
  • Teorema do Valor Intermediário (TVI): se g é contínua em um intervalo fechado [a,b] e L é qualquer número entre g(a) e g(b) (isto é, g(a)\le L\le g(b) ou g(b)\le L\le g(a)), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=L.
Explicando as letras do TVI:
  • g é a função contínua;
  • [a,b] é o intervalo onde g é contínua;
  • g(a) e g(b) são os valores da função nas extremidades;
  • L é o valor intermediário que queremos que a função atinja;
  • O TVI garante existência de um ponto c estritamente interno (a,b) com g\text{(c)}=L.
Intuição rápida e amigável: se você tem um fio tenso ligando dois pontos em alturas diferentes e não corta o fio, então ao mover-se continuamente do lado esquerdo ao direito você passa por todas as alturas entre as duas extremidades. O TVI formaliza isso para funções contínuas.

Passo 3

Vamos checar as hipóteses do TVI para o nosso problema, tomando g=f, a=-1 e b=1:
  • Hipótese 1 do TVI: f é contínua em [a,b]=[-1,1]. Isso é dado no enunciado.
  • Hipótese 2 do TVI: precisamos que \pi esteja entre f(-1) e f(1). Do enunciado temos f(-1)=4 e f(1)=3.
Agora verificamos numericamente que \pi fica entre esses valores:
  • Sabemos que \pi\approx 3,14159, logo
3 < \pi < 4,
isto é, \pi está estritamente entre f(1)=3 e f(-1)=4.
Portanto todas as hipóteses do TVI estão satisfeitas: f contínua em [-1,1] e \pi entre f(-1) e f(1).

Passo 4

Aplicando o TVI com as escolhas acima, concluímos que existe pelo menos um c em (-1,1) tal que
f\text{(c)}=\pi.
Como c\in(-1,1) isso é equivalente a |c|<1. Esse ponto c é exatamente o r pedido no enunciado.
Não precisamos construir r explicitamente para garantir sua existência — o TVI garante que ao menos um existe.

Passo 5

Para deixar mais concreto e ver que a afirmação não é só teórica, montei um exemplo simples que satisfaz as condições e para o qual encontramos explicitamente o r.
Considere a função linear
f(x) = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{7}{2}.
Verificações:
  • f(-1) = -\tfrac{1}{2}(-1) + \tfrac{7}{2} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{7}{2} = 4.
  • f(1) = -\tfrac{1}{2}(1) + \tfrac{7}{2} = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{7}{2} = 3.
  • f é contínua (é uma reta).
Resolver f(r)=\pi:
-\tfrac{1}{2}r + \tfrac{7}{2} = \pi \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{2}r = \pi - \tfrac{7}{2} \quad\Rightarrow\quad r = 7 - 2\pi.
Numericamente, com \pi\approx 3,14159,
r \approx 7 - 2\cdot 3,14159 \approx 0,71682,
que satisfaz |r|<1. Esse exemplo concreto mostra a existência explícita do r no caso linear; o TVI garante a existência para qualquer função contínua com as mesmas condições.

Passo 6

Resumo final do raciocínio que você deve usar na prova (passo a passo curto para decorar):
  1. Verifique continuidade em [a,b].
  2. Calcule f(a) e f(b) e veja se o valor desejado L está entre eles.
  3. Se estiver, aplique o TVI para afirmar que existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=L.
    No nosso problema: a=-1, b=1, L=\pi, e realmente 3=f(1)<\pi<4=f(-1), então existe r\in(-1,1) com f(r)=\pi.

Resposta

Verdadeira — existe r com |r|<1 tal que f(r)=\pi.

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