Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se p for um polinômio, então \lim _{x \rightarrow b} p(x)=p(b).

Passo 1

O enunciado diz: "Se p for um polinômio, então \lim_{x\rightarrow b} p(x)=p(b)".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e, conforme o caso, justificar.
Informações dadas: p é um polinômio (isto é, uma função do tipo p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 com coeficientes a_j reais) e b é um ponto em que estamos avaliando o limite (assuma b\in\mathbb{R}).
Não vamos resolver ainda; apenas identifiquei o que o problema pede e os dados que temos.

Passo 2

Definição e objetivo concreto: escrever o polinômio explicitamente. Seja
p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0.
Queremos mostrar que
\lim_{x\to b} p(x)=p(b)=a_n b^n + a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_1 b+a_0.
Estratégia geral (só para orientar): vamos usar propriedades básicas de limites (limite de constante, limite da função identidade, limites preservam soma, produto e multiplicação por constante) e o fato de que potências x^k têm limite b^k quando x\to b. Vou provar/justificar essas propriedades de forma didática.

Passo 3

Primeiro fatos simples: limites de funções muito simples.
  1. Limite de constante. Se c é número real constante então
\lim_{x\to b} c = c.
Explicação: para qualquer \varepsilon>0 temos |c-c|=0<\varepsilon para todo x, portanto basta qualquer \delta>0 e a condição do limite é satisfeita. Ou seja, a função constante é exatamente igual a c em todos os pontos, logo o limite é c.
  1. Limite da função identidade. A função f(x)=x satisfaz
\lim_{x\to b} x = b.
Explicação (epsilon-delta simples): dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se |x-b|<\delta então |x-b|<\varepsilon, que é exatamente a condição |f(x)-b|<\varepsilon. Logo o limite é b.
Esses dois fatos são a base: constantes e x têm limites óbvios.

Passo 4

Regra do produto (intuição e esboço do argumento): se f e g têm limites L e M em b, isto é \lim_{x\to b} f(x)=L e \lim_{x\to b} g(x)=M, então
\lim_{x\to b} f(x)g(x)=LM.
Justificativa elementar (estimativa): escreva
f(x)g(x)-LM = f(x)\bigl(g(x)-M\bigr) + M\bigl(f(x)-L\bigr).
Tomando módulo,
|f(x)g(x)-LM|\le |f(x)|\,|g(x)-M| + |M|\,|f(x)-L|.
Como f(x)\to L, para x perto de b temos f(x) próximo de L, em particular limitado por, digamos, |f(x)|\le |L|+1 numa vizinhança. Escolhendo x suficientemente próximo de b garantimos que ambos |g(x)-M| e |f(x)-L| fiquem pequenos o suficiente para que a soma acima seja menor que qualquer \varepsilon>0. Esse é o padrão do argumento epsilon-delta para o produto. Conclusão: produto de limites existe e é o produto dos limites.

Passo 5

Regra do quociente e da soma (apenas para referência): de forma semelhante, se limites de f e g existem, então a soma e a multiplicação por constante funcionam bem:
\lim_{x\to b}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) = \lim_{x\to b} f(x) + \lim_{x\to b} g(x),
\lim_{x\to b} \bigl(c\,f(x)\bigr) = c\lim_{x\to b} f(x),
essas propriedades são fáceis de provar usando a definição epsilon-delta linearmente (por exemplo, para soma, use |f(x)+g(x)-(L+M)|\le |f(x)-L|+|g(x)-M| e controle cada termo).

Passo 6

Limite de potências x^n. Vou provar por indução que
\lim_{x\to b} x^n = b^n \quad\text{para todo } n\in\mathbb{N}.
Base n=1: já vimos que \lim_{x\to b} x = b.
Passo indutivo: suponha \lim_{x\to b} x^k = b^k. Então x^{k+1}=x^k\cdot x. Aplicando a regra do produto (Passo 4) e usando que \lim_{x\to b} x^k = b^k e \lim_{x\to b} x = b, obtemos
\lim_{x\to b} x^{k+1} = \bigl(\lim_{x\to b} x^k\bigr)\cdot\bigl(\lim_{x\to b} x\bigr) = b^k\cdot b = b^{k+1}.
Isso fecha a indução, portanto \lim_{x\to b} x^n = b^n para todo n.

Passo 7

Agora trate cada termo do polinômio. Para um coeficiente a_j fixo (número real), a função a_j x^j tem limite
\lim_{x\to b} a_j x^j = a_j \lim_{x\to b} x^j = a_j b^j,
porque multiplicação por constante preserva limites (Passo 5) e já mostramos \lim_{x\to b} x^j = b^j.

Passo 8

Soma dos termos do polinômio. Como limite da soma é soma dos limites (Passo 5), aplicando para cada termo do polinômio obtemos
\lim_{x\to b} p(x) = \lim_{x\to b}\bigl(a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0\bigr)
= a_n\lim_{x\to b} x^n + a_{n-1}\lim_{x\to b} x^{n-1} + \cdots + a_1\lim_{x\to b} x + \lim_{x\to b} a_0.
Substituindo os limites já conhecidos:
\lim_{x\to b} p(x) = a_n b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_1 b + a_0 = p(b).

Passo 9

Interpretação final e moral didática: mostramos passo a passo que cada construção usada no polinômio (constante, identidade, produto, soma, multiplicação por constante, potências por indução) preserva limites, então o limite do polinômio no ponto b é exatamente o valor do polinômio em b. Em linguagem curta: polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}, e continuidade em b significa exatamente \lim_{x\to b} p(x)=p(b).

Resposta

Verdadeira.

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