Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se
for um polinômio, então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz: "Se
for um polinômio, então
".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e, conforme o caso, justificar.
Informações dadas: é um polinômio (isto é, uma função do tipo
com coeficientes
reais) e
é um ponto em que estamos avaliando o limite (assuma
).
Não vamos resolver ainda; apenas identifiquei o que o problema pede e os dados que temos.
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e, conforme o caso, justificar.
Informações dadas:
Não vamos resolver ainda; apenas identifiquei o que o problema pede e os dados que temos.
Passo 2
Definição e objetivo concreto: escrever o polinômio explicitamente. Seja
Queremos mostrar que
Estratégia geral (só para orientar): vamos usar propriedades básicas de limites (limite de constante, limite da função identidade, limites preservam soma, produto e multiplicação por constante) e o fato de que potências
têm limite
quando
. Vou provar/justificar essas propriedades de forma didática.
Passo 3
Primeiro fatos simples: limites de funções muito simples.
- Limite de constante. Se
é número real constante então
Explicação: para qualquer
temos
para todo
, portanto basta qualquer
e a condição do limite é satisfeita. Ou seja, a função constante é exatamente igual a
em todos os pontos, logo o limite é
.
- Limite da função identidade. A função
satisfaz
Explicação (epsilon-delta simples): dado
, escolha
. Se
então
, que é exatamente a condição
. Logo o limite é
.
Esses dois fatos são a base: constantes e
têm limites óbvios.
Passo 4
Regra do produto (intuição e esboço do argumento): se
e
têm limites
e
em
, isto é
e
, então
Justificativa elementar (estimativa): escreva
Tomando módulo,
Como
, para
perto de
temos
próximo de
, em particular limitado por, digamos,
numa vizinhança. Escolhendo
suficientemente próximo de
garantimos que ambos
e
fiquem pequenos o suficiente para que a soma acima seja menor que qualquer
. Esse é o padrão do argumento epsilon-delta para o produto. Conclusão: produto de limites existe e é o produto dos limites.
Passo 5
Regra do quociente e da soma (apenas para referência): de forma semelhante, se limites de
e
existem, então a soma e a multiplicação por constante funcionam bem:
essas propriedades são fáceis de provar usando a definição epsilon-delta linearmente (por exemplo, para soma, use
e controle cada termo).
Passo 6
Limite de potências
. Vou provar por indução que
Base
: já vimos que
.
Passo indutivo: suponha . Então
. Aplicando a regra do produto (Passo 4) e usando que
e
, obtemos
Passo indutivo: suponha
Isso fecha a indução, portanto
para todo
.
Passo 7
Agora trate cada termo do polinômio. Para um coeficiente
fixo (número real), a função
tem limite
porque multiplicação por constante preserva limites (Passo 5) e já mostramos
.
Passo 8
Soma dos termos do polinômio. Como limite da soma é soma dos limites (Passo 5), aplicando para cada termo do polinômio obtemos
Substituindo os limites já conhecidos:
Passo 9
Interpretação final e moral didática: mostramos passo a passo que cada construção usada no polinômio (constante, identidade, produto, soma, multiplicação por constante, potências por indução) preserva limites, então o limite do polinômio no ponto
é exatamente o valor do polinômio em
. Em linguagem curta: polinômios são funções contínuas em todo
, e continuidade em
significa exatamente
.
Resposta
Verdadeira.