Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se
existe, então o limite deve ser
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Informações dadas:
- Sabemos apenas que
existe. - Não foram dadas outras hipóteses sobre
e (por exemplo continuidade em ou existência de e ).
Pergunta: a conclusãonecessariamente segue das hipóteses?
Passo 2
Estratégia: vou lembrar um resultado útil sobre limites de produtos (que nos diz quando a igualdade é verdadeira) e em seguida vou construir um contraexemplo simples que mostra que, sem hipóteses extras, a afirmação é falsa. Assim você verá claramente por que a afirmação não é verdadeira em geral.
Teorema importante (que é bom conhecer para a prova): se e
existem, então
Teorema importante (que é bom conhecer para a prova): se
Explicando: aqui
significa que, quando
fica arbitrariamente próximo de
(mas podendo ser diferente de
), os valores
se aproximam do número
. O mesmo para
com
. O teorema diz que o limite do produto é o produto dos limites. Em particular, se além disso
e
forem contínuas em
, então
e
, daí
Mas note: o enunciado não assume que
e
existem, nem que
e
sejam contínuas. Por isso a igualdade pedida pode falhar — vamos ver um contraexemplo.
Passo 3
Construção do contraexemplo (bem simples e didático). Defina as funções
Ou seja,
em todos os pontos exceto em
, onde foi definido o valor
. A função
é a função constante
.]
Passo 4
Calcule o limite do produto
. Para todo
temos
. Assim, quando
se aproxima de
por valores diferentes de
, o valor de
é sempre
. Portanto
(Informalmente: o produto é identicamente
em uma vizinhança de
excluindo o próprio ponto
, então o limite vale
.)
Passo 5
Agora calcule
. Pelas definições temos
e
, então
Passo 6
Comparando os resultados:
enquanto
. Logo o limite do produto existe, mas não é igual a
. Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa em geral.
Resumo didático e dica para a prova: a razão dessa falha é que existir não garante que
e
tenham seus valores no ponto condizendo com os limites (ou mesmo que os limites de
e
existam separadamente). A igualdade
é verdadeira sob hipóteses adicionais, por exemplo se
e
forem contínuas em
(ou, mais fraco, se
e
). Sempre verifique essas hipóteses antes de trocar limite por valor da função na prova.
Resumo didático e dica para a prova: a razão dessa falha é que existir
Resposta
Falso.