Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se \lim _{x \rightarrow 6}[f(x) g(x)] existe, então o limite deve ser f(6) g(6).

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
\text{Se } \lim_{x\to 6}[f(x)g(x)] \text{ existe, então o limite deve ser } f(6)g(6).ã
Informações dadas:
  • Sabemos apenas que \lim_{x\to 6}[f(x)g(x)] existe.
  • Não foram dadas outras hipóteses sobre f e g (por exemplo continuidade em x=6 ou existência de \lim_{x\to6}f(x) e \lim_{x\to6}g(x)).
    Pergunta: a conclusão \lim_{x\to6}[f(x)g(x)] = f(6)g(6) necessariamente segue das hipóteses?

Passo 2

Estratégia: vou lembrar um resultado útil sobre limites de produtos (que nos diz quando a igualdade é verdadeira) e em seguida vou construir um contraexemplo simples que mostra que, sem hipóteses extras, a afirmação é falsa. Assim você verá claramente por que a afirmação não é verdadeira em geral.
Teorema importante (que é bom conhecer para a prova): se \lim_{x\to6} f(x)=L e \lim_{x\to6} g(x)=M existem, então
\lim_{x\to6} [f(x)g(x)] = LM.
Explicando: aqui \lim_{x\to6} f(x)=L significa que, quando x fica arbitrariamente próximo de 6 (mas podendo ser diferente de 6), os valores f(x) se aproximam do número L. O mesmo para g com M. O teorema diz que o limite do produto é o produto dos limites. Em particular, se além disso f e g forem contínuas em 6, então L=f(6) e M=g(6), daí
\lim_{x\to6} [f(x)g(x)] = f(6)g(6).
Mas note: o enunciado não assume que \lim_{x\to6} f(x) e \lim_{x\to6} g(x) existem, nem que f e g sejam contínuas. Por isso a igualdade pedida pode falhar — vamos ver um contraexemplo.

Passo 3

Construção do contraexemplo (bem simples e didático). Defina as funções f\) e \(g\) por: \[f(x)=\begin{cases} 1, & x\neq 6,\\[4pt] 0, & x=6, \end{cases} \qquad g(x)=1\quad\text{para todo }x.
Ou seja, f\] é igual a \(1 em todos os pontos exceto em x=6, onde foi definido o valor f(6)=0. A função g é a função constante 1.]

Passo 4

Calcule o limite do produto \lim_{x\to6}[f(x)g(x)]. Para todo x\neq 6 temos f(x)g(x)=1\cdot 1=1. Assim, quando x se aproxima de 6 por valores diferentes de 6, o valor de f(x)g(x) é sempre 1. Portanto
\lim_{x\to6}[f(x)g(x)] = 1.
(Informalmente: o produto é identicamente 1 em uma vizinhança de 6 excluindo o próprio ponto 6, então o limite vale 1.)

Passo 5

Agora calcule f(6)g(6). Pelas definições temos f(6)=0 e g(6)=1, então
f(6)g(6)=0\cdot 1=0.

Passo 6

Comparando os resultados: \lim_{x\to6}[f(x)g(x)]=1 enquanto f(6)g(6)=0. Logo o limite do produto existe, mas não é igual a f(6)g(6). Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa em geral.
Resumo didático e dica para a prova: a razão dessa falha é que existir \lim_{x\to6}[f(x)g(x)] não garante que f e g tenham seus valores no ponto condizendo com os limites (ou mesmo que os limites de f e g existam separadamente). A igualdade \lim_{x\to6}[f(x)g(x)] = f(6)g(6) é verdadeira sob hipóteses adicionais, por exemplo se f e g forem contínuas em 6 (ou, mais fraco, se \lim_{x\to6}f(x)=f(6) e \lim_{x\to6}g(x)=g(6)). Sempre verifique essas hipóteses antes de trocar limite por valor da função na prova.

Resposta

Falso.

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