Explique, usando os teoremas vistos em sala, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Dizer qual é o domínio da função.
- Explicar, usando os teoremas vistos em sala, por que a função é contínua em todo número do seu domínio.
Informações fornecidas pelo enunciado: a expressão explícita de
e nada mais (não há figura nem restrição extra).
Passo 2
Vou listar os teoremas e fatos que vamos usar (cada um é um resultado padrão que normalmente é visto em aula):
- Teorema A (continuidade de funções elementares): a função exponencial
é contínua (de fato diferenciável) para todo . Da mesma forma, funções constantes são contínuas. - Teorema B (operações com contínuas): se
e são contínuas num ponto , então e são contínuas em ; em particular, soma de contínuas é contínua. - Teorema C (composição): se
é contínua em e é contínua em , então é contínua em . - Teorema D (diferenciabilidade implica continuidade): se uma função é diferenciável num ponto, então ela é contínua nesse ponto. Em particular,
é diferenciável (e, portanto, contínua) para todo porque sua derivada existe e é
definida para todo
.
Passo 3
Aplique os teoremas às partes da função. Primeiro, considere a função interna
Explicação didática: a função
é contínua em todo
(Teorema A). A transformação
é linear e contínua em todo
. Compor
com
(ou seja,
) mantém a continuidade pela regra de composição (Teorema C). Portanto
é contínua em todo
.
Observação numérica simples: para qualquer
,
. Isso será útil para falar do domínio.
Passo 4
Agora construa a função imediatamente externa à exponencial:
Explicação didática: a função constante
é contínua e
é contínua; pela propriedade de soma (Teorema B),
é contínua em todo
. Além disso, como
para todo
, temos
para todo
, então
toma apenas valores reais estritamente maiores que
. Em particular,
está sempre bem definido em todos os
.
Passo 5
Analise a função externa
(ou
). Pelo Teorema D,
é diferenciável em todo
e tem derivada
que está definida para todo
. Logo
é contínua em todo
. Como
(do passo anterior) só assume valores reais, não há problema de domínio ao aplicar
a
.
Passo 6
Use a regra da composição (Teorema C) para concluir a continuidade de
. Temos:
-
é contínua em todo (Passo 4). -
é contínua em todo (Passo 5).
Pelo Teorema C, a composição
é contínua em todo ponto
. Em linguagem de limite: para todo
,
o que é a definição de continuidade ponto a ponto.
Passo 7
Recapitulando de forma prática (um jeito que ajuda na prova):
- Mostre que
é contínua (saber que exponencial é contínua e que trocar por não quebra a continuidade basta). - Some com a constante
: continua. - Aplique
: como é contínua em todo , a composição é contínua.
Esse tipo de argumento — decompor a função em blocos conhecidos e aplicar soma/composição — é exatamente o que o professor espera ver na prova.
Resposta
Domínio:
A função é contínua em todo (pela continuidade de
, soma com
e composição com
, que é contínua em
).
A função é contínua em todo