Explique, usando os teoremas vistos em sala, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
N(r)=\tan ^{-1}\left(1+e^{-r}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle N(r)=\tan^{-1}\!\bigl(1+e^{-r}\bigr) e pede duas coisas:
  1. Dizer qual é o domínio da função.
  2. Explicar, usando os teoremas vistos em sala, por que a função é contínua em todo número do seu domínio.
Informações fornecidas pelo enunciado: a expressão explícita de N(r) e nada mais (não há figura nem restrição extra).

Passo 2

Vou listar os teoremas e fatos que vamos usar (cada um é um resultado padrão que normalmente é visto em aula):
  • Teorema A (continuidade de funções elementares): a função exponencial r\mapsto e^{r} é contínua (de fato diferenciável) para todo r\in\mathbb{R}. Da mesma forma, funções constantes são contínuas.
  • Teorema B (operações com contínuas): se f e g são contínuas num ponto r_0, então f+g e f\cdot g são contínuas em r_0; em particular, soma de contínuas é contínua.
  • Teorema C (composição): se f é contínua em a e g é contínua em f(a), então g\circ f é contínua em a.
  • Teorema D (diferenciabilidade implica continuidade): se uma função é diferenciável num ponto, então ela é contínua nesse ponto. Em particular, \arctan(x) é diferenciável (e, portanto, contínua) para todo x\in\mathbb{R} porque sua derivada existe e é
\bigl(\arctan x\bigr)'=\frac{1}{1+x^{2}},
definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Aplique os teoremas às partes da função. Primeiro, considere a função interna
h(r)=e^{-r}.
Explicação didática: a função r\mapsto e^{r} é contínua em todo \mathbb{R} (Teorema A). A transformação r\mapsto -r é linear e contínua em todo \mathbb{R}. Compor e^{(\cdot)} com r\mapsto -r (ou seja, r\mapsto e^{-r}) mantém a continuidade pela regra de composição (Teorema C). Portanto h(r)=e^{-r} é contínua em todo r\in\mathbb{R}.
Observação numérica simples: para qualquer r, e^{-r}>0. Isso será útil para falar do domínio.

Passo 4

Agora construa a função imediatamente externa à exponencial:
g(r)=1+e^{-r}.
Explicação didática: a função constante 1 é contínua e h(r)=e^{-r} é contínua; pela propriedade de soma (Teorema B), g(r)=1+h(r) é contínua em todo \mathbb{R}. Além disso, como e^{-r}>0 para todo r, temos g(r)=1+e^{-r}>1 para todo r, então g(r) toma apenas valores reais estritamente maiores que 1. Em particular, g(r) está sempre bem definido em todos os r\in\mathbb{R}.

Passo 5

Analise a função externa \tan^{-1} (ou \arctan). Pelo Teorema D, \arctan(x) é diferenciável em todo x\in\mathbb{R} e tem derivada
\bigl(\arctan x\bigr)'=\frac{1}{1+x^{2}},
que está definida para todo x. Logo \arctan é contínua em todo \mathbb{R}. Como g(r) (do passo anterior) só assume valores reais, não há problema de domínio ao aplicar \arctan a g(r).

Passo 6

Use a regra da composição (Teorema C) para concluir a continuidade de N. Temos:
  • g é contínua em todo \mathbb{R} (Passo 4).
  • \arctan é contínua em todo \mathbb{R} (Passo 5).
    Pelo Teorema C, a composição
N(r)=\arctan\bigl(g(r)\bigr)=\tan^{-1}\!\bigl(1+e^{-r}\bigr)
é contínua em todo ponto r\in\mathbb{R}. Em linguagem de limite: para todo r_{0}\in\mathbb{R},
\lim_{r\to r_{0}}N(r)=\arctan\!\bigl(\lim_{r\to r_{0}}g(r)\bigr)=\arctan\bigl(g(r_{0})\bigr)=N(r_{0}),
o que é a definição de continuidade ponto a ponto.

Passo 7

Recapitulando de forma prática (um jeito que ajuda na prova):
  • Mostre que e^{-r} é contínua (saber que exponencial é contínua e que trocar r por -r não quebra a continuidade basta).
  • Some com a constante 1: continua.
  • Aplique \tan^{-1}: como \tan^{-1} é contínua em todo \mathbb{R}, a composição é contínua.
    Esse tipo de argumento — decompor a função em blocos conhecidos e aplicar soma/composição — é exatamente o que o professor espera ver na prova.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
A função é contínua em todo \mathbb{R} (pela continuidade de e^{-r}, soma com 1 e composição com \tan^{-1}, que é contínua em \mathbb{R}).

Exercícios relacionados