Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é a razão entre
e . - Quando
temos e . Portanto a forma é do tipo , isto é, uma indeterminação. - A tarefa é calcular esse limite. Vou resolver passo a passo, explicando cada conceito usado.
Passo 2
Primeira abordagem (método elementar que costuma ser o mais direto em provas): reescrevo a tangente em termos de seno e cosseno e simplifico a expressão. Usando
obtenho
Agora vou manipular o quociente
escrevendo fatores com
para usar um limite padrão. Multiplico e divido por
e por
:
Reescrevendo
, a expressão total vira
Passo 3
Agora preciso usar o limite padrão fundamental
Vou explicar rapidamente por que isso vale (prova clássica por desigualdade, versão curta): para
pequeno e positivo (
) vale a desigualdade geométrica
Dividindo por
obtemos
Tomando recíprocos (os termos são positivos) e lembrando que
quando
, segue
e pelo teorema do confronto (squeeze) temos
. Para
negativo a igualdade também vale por simetria da função seno. Pronto: esse é o ingrediente chave.
Passo 4
Aplicando esse limite às frações que aparecem na expressão do Passo 2:
-
(substitua na fórmula padrão). -
(substitua ). -
.
Portanto, passando ao limite na expressão
obtemos
Passo 5
Alternativa (usando a Regra de L’Hôpital), para confirmar e mostrar outro caminho:
- Verificamos as condições: quando
temos numerador e denominador , forma . As funções são diferenciáveis em torno de (exceto nos pontos onde não está definida, mas perto de está definida), logo podemos aplicar l’Hôpital. - Derivando numerador e denominador:
Pelo l’Hôpital,
Logo a mesma resposta aparece.