Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 4 x}{\operatorname{tg} 5 x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}4x}{\operatorname{tg}5x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é a razão entre \operatorname{sen}4x e \operatorname{tg}5x.
  • Quando x\to 0 temos \operatorname{sen}4x\to 0 e \operatorname{tg}5x\to 0. Portanto a forma é do tipo 0/0, isto é, uma indeterminação.
  • A tarefa é calcular esse limite. Vou resolver passo a passo, explicando cada conceito usado.

Passo 2

Primeira abordagem (método elementar que costuma ser o mais direto em provas): reescrevo a tangente em termos de seno e cosseno e simplifico a expressão. Usando \operatorname{tg}y=\dfrac{\sin y}{\cos y} obtenho
\frac{\operatorname{sen}4x}{\operatorname{tg}5x} = \frac{\sin 4x}{\sin 5x}\cos 5x.
Agora vou manipular o quociente \dfrac{\sin 4x}{\sin 5x} escrevendo fatores com x para usar um limite padrão. Multiplico e divido por 4x e por 5x:
\frac{\sin 4x}{\sin 5x} = \frac{\sin 4x}{4x}\cdot\frac{5x}{\sin 5x}\cdot\frac{4}{5} = \frac{4}{5}\cdot\frac{\sin 4x}{4x}\cdot\frac{5x}{\sin 5x}.
Reescrevendo \dfrac{5x}{\sin 5x}=\dfrac{1}{\sin 5x/(5x)}, a expressão total vira
\frac{\sin 4x}{\sin 5x}\cos 5x = \frac{4}{5}\cdot\frac{\sin 4x}{4x}\cdot\frac{1}{\sin 5x/(5x)}\cdot\cos 5x.

Passo 3

Agora preciso usar o limite padrão fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Vou explicar rapidamente por que isso vale (prova clássica por desigualdade, versão curta): para t pequeno e positivo ( 0<t<\tfrac{\pi}{2} ) vale a desigualdade geométrica
\sin t < t < \tan t = \frac{\sin t}{\cos t}.
Dividindo por \sin t>0 obtemos
1 < \frac{t}{\sin t} < \frac{1}{\cos t}.
Tomando recíprocos (os termos são positivos) e lembrando que \cos t\to 1 quando t\to 0, segue
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1,
e pelo teorema do confronto (squeeze) temos \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Para t negativo a igualdade também vale por simetria da função seno. Pronto: esse é o ingrediente chave.

Passo 4

Aplicando esse limite às frações que aparecem na expressão do Passo 2:
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{4x}=1 (substitua t=4x na fórmula padrão).
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{5x}=1 (substitua t=5x).
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\cos 5x=1.
Portanto, passando ao limite na expressão
\frac{\sin 4x}{\operatorname{tg}5x} = \frac{4}{5}\cdot\frac{\sin 4x}{4x}\cdot\frac{1}{\sin 5x/(5x)}\cdot\cos 5x,
obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\operatorname{tg}5x} = \frac{4}{5}\cdot 1 \cdot \frac{1}{1}\cdot 1 = \frac{4}{5}.

Passo 5

Alternativa (usando a Regra de L’Hôpital), para confirmar e mostrar outro caminho:
  • Verificamos as condições: quando x\to 0 temos numerador \sin 4x\to 0 e denominador \tan 5x\to 0, forma 0/0. As funções são diferenciáveis em torno de 0 (exceto nos pontos onde \tan não está definida, mas perto de 0 está definida), logo podemos aplicar l’Hôpital.
  • Derivando numerador e denominador:
(\sin 4x)' = 4\cos 4x,\qquad (\tan 5x)' = 5\operatorname{sec}^2 5x.
Pelo l’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\tan 5x} = \lim_{x\to 0}\frac{4\cos 4x}{5\operatorname{sec}^2 5x} = \frac{4}{5}\lim_{x\to 0}\cos 4x\cdot\cos^2 5x = \frac{4}{5}\cdot 1\cdot 1 = \frac{4}{5}.
Logo a mesma resposta aparece.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}

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