Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
for contínua em
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá que
é contínua em
e propõe a igualdade
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (provando ou fornecendo contraexemplo). Informações relevantes que temos:
contínua em
; a expressão à esquerda é uma integral definida (um número); a expressão à direita mostra um fator
multiplicando outra integral definida (também deveria ser um número).
Passo 2
Primeiro, lembre de uma propriedade básica e correta dos integrais definidos: se
é uma constante (ou seja, não depende da variável de integração), então
Explicando por que isso é verdade (passo-a-passo didático): um integral definido
representa a soma (no limite) de valores
multiplicados por pequenos comprimentos
. Se multiplicamos
por uma constante
em todos os pontos, cada pequeno retângulo fica
vezes maior, logo a soma total também fica
vezes maior. Assim é legítimo “fatorar” constantes que não dependem de
.
Passo 3
Observe o ponto crucial: na afirmação dada o fator que se tenta “fatorar” é
. A variável
é justamente a variável de integração em
. Portanto
não é uma constante em relação à integração — ela varia ao longo do intervalo
. A propriedade do Passo 2 exige que o fator seja independente da variável de integração. Logo, à primeira vista, a igualdade proposta parece incorreta porque tenta tratar
como se fosse constante.
Passo 4
Vou mostrar um contraexemplo simples e explícito (isso prova que a afirmação é falsa). Tome
, contínua em qualquer intervalo. Escolha o intervalo
. Calcule as duas partes:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Comparando: o lado esquerdo é o número
, enquanto o lado direito é a função
(que varia com
). Para que as duas expressões fossem iguais como números, teríamos que ter
para todo
, o que é absurdo. Portanto a igualdade não vale para este exemplo, logo é falsa em geral.
Passo 5
Explico didaticamente porque a confusão é comum e o que é verdade no lugar da afirmação dada:
- Regra correta: só se pode tirar um fator para fora do integral se esse fator for constante em relação à variável de integração.
- Forma relacionada verdadeira (Teorema do valor médio para integrais ponderadas): se
é contínua em e não muda de sinal, então existe um número tal que
Isso não diz que se pode puxar o próprio
para fora, mas que existe algum número
fixo (dependente de
e do intervalo) que representa a “média ponderada” de
em relação a
. Por exemplo, no contraexemplo com
e
, esse
é
, já que
.
Passo 6
Resumo final e incentivo: a afirmação original é falsa porque trata a variável de integração
como se fosse uma constante, e um contraexemplo simples (
em
) mostra a contradição. Não desanime — confundir quando se pode ou não fatorar fora de uma integral é comum; lembrar que só constantes podem ser retiradas é a regra prática que resolve a maioria das dúvidas.
Resposta
Falsa.