Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f for contínua em [a, b], então
\int_{a}^{b} x f(x) d x=x \int_{a}^{b} f(x) d x

Passo 1

O enunciado dá que f é contínua em [a,b] e propõe a igualdade
\int_{a}^{b} x f(x)\,dx = x \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (provando ou fornecendo contraexemplo). Informações relevantes que temos: f contínua em [a,b]; a expressão à esquerda é uma integral definida (um número); a expressão à direita mostra um fator x multiplicando outra integral definida (também deveria ser um número).

Passo 2

Primeiro, lembre de uma propriedade básica e correta dos integrais definidos: se c é uma constante (ou seja, não depende da variável de integração), então
\int_{a}^{b} c\,f(x)\,dx = c \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Explicando por que isso é verdade (passo-a-passo didático): um integral definido \int_a^b f(x)\,dx representa a soma (no limite) de valores f(x) multiplicados por pequenos comprimentos dx. Se multiplicamos f(x) por uma constante c em todos os pontos, cada pequeno retângulo fica c vezes maior, logo a soma total também fica c vezes maior. Assim é legítimo “fatorar” constantes que não dependem de x.

Passo 3

Observe o ponto crucial: na afirmação dada o fator que se tenta “fatorar” é x. A variável x é justamente a variável de integração em \int_a^b x f(x)\,dx. Portanto x não é uma constante em relação à integração — ela varia ao longo do intervalo [a,b]. A propriedade do Passo 2 exige que o fator seja independente da variável de integração. Logo, à primeira vista, a igualdade proposta parece incorreta porque tenta tratar x como se fosse constante.

Passo 4

Vou mostrar um contraexemplo simples e explícito (isso prova que a afirmação é falsa). Tome f(x)=1, contínua em qualquer intervalo. Escolha o intervalo [a,b]=[0,1]. Calcule as duas partes:
  • Lado esquerdo:
\int_{0}^{1} x\cdot 1\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
  • Lado direito:
x \int_{0}^{1} 1\,dx = x\cdot \left[ x\right]_{0}^{1} = x\cdot 1 = x.
Comparando: o lado esquerdo é o número \tfrac{1}{2}, enquanto o lado direito é a função x (que varia com x). Para que as duas expressões fossem iguais como números, teríamos que ter x=\tfrac{1}{2} para todo x\in[0,1], o que é absurdo. Portanto a igualdade não vale para este exemplo, logo é falsa em geral.

Passo 5

Explico didaticamente porque a confusão é comum e o que é verdade no lugar da afirmação dada:
  • Regra correta: só se pode tirar um fator para fora do integral se esse fator for constante em relação à variável de integração.
  • Forma relacionada verdadeira (Teorema do valor médio para integrais ponderadas): se f é contínua em [a,b] e não muda de sinal, então existe um número \xi\in[a,b] tal que
\int_{a}^{b} x f(x)\,dx = \xi \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Isso não diz que se pode puxar o próprio x para fora, mas que existe algum número \xi fixo (dependente de f e do intervalo) que representa a “média ponderada” de x em relação a f. Por exemplo, no contraexemplo com f\equiv1 e [0,1], esse \xi é \tfrac{1}{2}, já que \int_0^1 x\,dx = \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\cdot \int_0^1 1\,dx.

Passo 6

Resumo final e incentivo: a afirmação original é falsa porque trata a variável de integração x como se fosse uma constante, e um contraexemplo simples ( f(x)=1 em [0,1]) mostra a contradição. Não desanime — confundir quando se pode ou não fatorar fora de uma integral é comum; lembrar que só constantes podem ser retiradas é a regra prática que resolve a maioria das dúvidas.

Resposta

Falsa.

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