Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
\lim _{x \rightarrow 5} f(x)=0\\") e \(\lim _{x \rightarrow 5} g(x)=0\\"), então \(\lim _{x \rightarrow 5}[f(x) / g(x)]\\") não existe.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \lim_{x\to5} f(x)=0.
  • \lim_{x\to5} g(x)=0.
A pergunta é: a afirmação
\text{Se }\lim_{x\to5} f(x)=0\text{ e }\lim_{x\to5} g(x)=0\text{, então }\lim_{x\to5}\frac{f(x)}{g(x)}\text{ não existe}ãã
é verdadeira ou falsa?
Vou deixar claro: o que a afirmação diz é que sempre que os dois limites forem zero, o limite do quociente \dfrac{f(x)}{g(x)} necessariamente não existe. Temos que decidir se isso vale para todo caso ou não.

Passo 2

Explicando o conceito-chave de forma bem didática: quando ambos os limites vão para zero temos uma forma indeterminada chamada \tfrac{0}{0}. “Indeterminado” quer dizer que a informação dada não determina o limite do quociente — o limite pode existir (ser um número finito), pode não existir (divergir para \pm\infty) ou pode não existir por oscilar. Portanto, a expressão \tfrac{0}{0} por si só não decide o resultado; é preciso analisar as funções concretas e, às vezes, manipular algebraicamente ou usar teoremas (por exemplo l’Hôpital) para encontrar o limite.
Vou mostrar exemplos concretos que provam que a afirmação é falsa (um contraexemplo basta), e também exemplos que mostram que em outros casos o limite realmente não existe — para ficar claro que tudo é possível.

Passo 3

Exemplo em que o limite do quociente existe (contraexemplo que torna a afirmação falsa).
Defina
f(x)=x-5,\qquad g(x)=x-5.
Então claramente
\lim_{x\to5} f(x)=\lim_{x\to5}(x-5)=0, \qquad \lim_{x\to5} g(x)=\lim_{x\to5}(x-5)=0.
Para x\neq5 temos
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x-5}{x-5}=1.
Portanto
\lim_{x\to5}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to5}1=1.
Aqui os dois limites são 0 mas o limite do quociente existe e é 1. Logo a afirmação “então \lim_{x\to5}[f(x)/g(x)] não existe” é falsa, pois encontramos um caso em que ele existe. Esse contraexemplo já prova que a afirmação é falsa.

Passo 4

Exemplo em que o limite do quociente não existe (mostrando que nada garante existência).
a) Divergência para infinito:
Defina
f(x)=x-5,\qquad g(x)=(x-5)^2.
Então
\lim_{x\to5} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to5} g(x)=0.
Mas para x\neq5,
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x-5}{(x-5)^2}=\frac{1}{x-5}.
Ao aproximar x de 5 pela direita, x-5>0 e \dfrac{1}{x-5}\to+\infty; pela esquerda, \dfrac{1}{x-5}\to-\infty. Portanto o limite \lim_{x\to5}\dfrac{f(x)}{g(x)} não existe (diverge).
b) Oscilação sem limite:
Defina
f(x)=(x-5)\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x-5}\bigr),\qquad g(x)=x-5.
Usando a desigualdade |\sin t|\le 1, para x\neq5 tem-se
|f(x)|=|x-5|\cdot\bigl|\sin(\tfrac{1}{x-5})\bigr|\le|x-5|.
Pelo teorema do sanduíche (squeeze), \lim_{x\to5} f(x)=0. Também \lim_{x\to5} g(x)=0. Porém, para x\neq5,
\frac{f(x)}{g(x)}=\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x-5}\bigr),
e a função \sin\!\bigl(\tfrac{1}{x-5}\bigr) não tem limite quando x\to5 porque oscila entre -1 e 1 cada vez mais rápido. Assim \lim_{x\to5}\dfrac{f(x)}{g(x)} não existe por oscilar.

Passo 5

Comentário sobre métodos usados na prova e como proceder na prova/avalição:
  • Quando se encontra a forma \tfrac{0}{0}, a primeira ideia é simplificar algebraicamente (fatorar, cancelar fatores) — como no exemplo f(x)=g(x)=x-5.
  • Se a simplificação não é óbvia, uma ferramenta útil é a regra de l’Hôpital: se \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty) e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
sempre que o limite do lado direito exista ou seja \pm\infty. Mas atenção: a hipótese de diferenciabilidade e existência do limite das derivadas é necessária para aplicar l’Hôpital.
  • Em outras situações pode ser necessário usar o teorema do sanduíche, mudança de variável, ou analisar limites laterais.

Passo 6

Conclusão final, de forma direta: a afirmação dada é falsa. O simples fato de \lim_{x\to5} f(x)=0 e \lim_{x\to5} g(x)=0 não garante que \lim_{x\to5}\dfrac{f(x)}{g(x)} não exista; o quociente pode tanto ter limite finito (ex.: f(x)=g(x)=x-5) quanto não ter limite (ex.: exemplos de divergir ou oscilar dados acima). Portanto a proposição “então \lim_{x\to5}[f(x)/g(x)] não existe” é falsa.

Resposta

Falsa

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