Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\infty\\") e \(\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\infty\\"), então \(\lim _{x \rightarrow 0}[f(x)-g(x)]=0\\")

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f e g tais que
\lim_{x\to 0} f(x)=\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} g(x)=\infty.
A pergunta é: a afirmação
\lim_{x\to 0}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]=0
é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um exemplo que a contradiga.

Passo 2

Vamos lembrar exatamente o que significa \lim_{x\to 0} f(x)=\infty. Isso quer dizer: para todo número M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |x-0|<\delta (ou seja, 0<|x|<\delta), vale f(x)>M. Em palavras: f(x) cresce sem limite quando x se aproxima de 0. O mesmo vale para g. Importante: \infty não é um número real; é uma maneira de dizer que os valores ficam arbitrariamente grandes.
Por isso não é permitido fazer, sem cuidado, “álgebra com infinitos” como se \infty-\infty=0. Essa expressão \infty-\infty é indeterminada: ao subtrair duas quantidades que ficam arbitrariamente grandes, o resultado pode ser qualquer coisa (um número finito, \pm\infty, ou não ter limite).

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa basta apresentar um contraexemplo: duas funções que tendem a +\infty em 0 mas cuja diferença não tende a 0.
Considere
f(x)=\frac{1}{x^{2}} \qquad\text{e}\qquad g(x)=\frac{1}{x^{2}}+1.

Passo 4

Verifiquemos as hipóteses no exemplo:
  • Para f temos \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^{2}}=\infty, porque \frac{1}{x^{2}} fica arbitrariamente grande à medida que x\to 0.
  • Para g temos \displaystyle \lim_{x\to 0}\Bigl(\frac{1}{x^{2}}+1\Bigr)=\infty também, pois somar 1 a algo que cresce sem limite não impede que o resultado cresça sem limite.
Logo as hipóteses \lim_{x\to 0} f(x)=\infty e \lim_{x\to 0} g(x)=\infty estão satisfeitas.

Passo 5

Agora olhe a diferença:
f(x)-g(x)=\frac{1}{x^{2}}-\Bigl(\frac{1}{x^{2}}+1\Bigr)=-1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]=-1\neq 0.
Isso contradiz a afirmação original (que afirmava que a diferença tenderia a 0). Então a afirmação é falsa.

Passo 6

Comentários didáticos e exemplos adicionais rápidos para fixar a ideia:
  • Se escolhesse g=f então f-g=0 e o limite seria 0; portanto em alguns casos a diferença realmente pode ser 0.
  • Se escolheres g=f+1 (como no contraexemplo) a diferença é constante -1.
  • Se escolheres g=f+\dfrac{1}{x} então f-g=-\dfrac{1}{x}, cuja limite pode ser \pm\infty ou não existir quando x\to 0.
  • Conclusão prática: sabendo apenas que ambas as funções divergem para +\infty não se pode deduzir o comportamento da diferença — é uma expressão indeterminada, e é necessário mais informação (por exemplo, relação mais precisa entre f e g).

Resposta

Falsa.

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