Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções
e
tais que
A pergunta é: a afirmação
é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou dar um exemplo que a contradiga.
Passo 2
Vamos lembrar exatamente o que significa
. Isso quer dizer: para todo número
existe
tal que, sempre que
(ou seja,
), vale
. Em palavras:
cresce sem limite quando
se aproxima de
. O mesmo vale para
. Importante:
não é um número real; é uma maneira de dizer que os valores ficam arbitrariamente grandes.
Por isso não é permitido fazer, sem cuidado, “álgebra com infinitos” como se
. Essa expressão
é indeterminada: ao subtrair duas quantidades que ficam arbitrariamente grandes, o resultado pode ser qualquer coisa (um número finito,
, ou não ter limite).
Passo 3
Para mostrar que a afirmação é falsa basta apresentar um contraexemplo: duas funções que tendem a
em
mas cuja diferença não tende a
.
Considere
Passo 4
Verifiquemos as hipóteses no exemplo:
- Para
temos , porque fica arbitrariamente grande à medida que . - Para
temos também, pois somar a algo que cresce sem limite não impede que o resultado cresça sem limite.
Logo as hipóteses
e
estão satisfeitas.
Passo 5
Agora olhe a diferença:
Portanto
Isso contradiz a afirmação original (que afirmava que a diferença tenderia a
). Então a afirmação é falsa.
Passo 6
Comentários didáticos e exemplos adicionais rápidos para fixar a ideia:
- Se escolhesse
então e o limite seria ; portanto em alguns casos a diferença realmente pode ser . - Se escolheres
(como no contraexemplo) a diferença é constante . - Se escolheres
então , cuja limite pode ser ou não existir quando . - Conclusão prática: sabendo apenas que ambas as funções divergem para
não se pode deduzir o comportamento da diferença — é uma expressão indeterminada, e é necessário mais informação (por exemplo, relação mais precisa entre e ).
Resposta
Falsa.