Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se \lim _{x \rightarrow 5} f(x)=2\\") e \(\lim _{x \rightarrow 5} g(x)=0\\"), então \(\lim _{x \rightarrow 5}[f(x) / g(x)]\\") não existe.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x) = 2.
\displaystyle \lim_{x\to 5} g(x) = 0.
A afirmação a ser avaliada é: “Então \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{f(x)}{g(x)} não existe.” Precisa-se decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar.
Passo 2
Lembrete (fórmula e ideia que vou usar). Há um resultado padrão sobre limites de quociente:
Se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe e \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) existe com \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)\neq 0, então
Esse resultado NÃO se aplica quando \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=0. Então devemos analisar o caso especial em que o denominador tende a zero.
Passo 3
Mostrar que não pode haver um limite finito para \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} quando \displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=2 e \displaystyle \lim_{x\to 5} g(x)=0.
Explicação detalhada (prova por contradição / argumento com estimativas simples):
Como \displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=2, existe \delta_1>0 tal que, para 0<|x-5|<\delta_1, vale |f(x)-2|<1. Assim, para esses x temos
|f(x)| \ge |2| - |f(x)-2| > 2-1 =1.
Ou seja, próximo de 5 (exceto possivelmente em x=5), f(x) fica com magnitude maior que 1.
Como \displaystyle \lim_{x\to 5} g(x)=0, para qualquer \varepsilon>0 existe \delta_2>0 tal que, para 0<|x-5|<\delta_2, vale |g(x)|<\varepsilon.
Agora, escolha um número grande arbitrário M>0. Tome \varepsilon = 1/M. Então existe \delta_2>0 com |g(x)|<1/M sempre que 0<|x-5|<\delta_2. Seja \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Para qualquer x com 0<|x-5|<\delta temos simultaneamente |f(x)|>1 e |g(x)|<1/M. Portanto
\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| \;=\; \frac{|f(x)|}{|g(x)|} \;>\; \frac{1}{1/M} \;=\; M.
Como M era arbitrário, isso mostra que \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} fica arbitrariamente grande em magnitude quando x se aproxima de 5. Logo não existe limite finito L\in\mathbb{R} tal que \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{f(x)}{g(x)}=L.
Passo 4
Explicar a nuance: “não existe” pode significar duas coisas diferentes:
Não existe limite finito (já provado no Passo 3).
O limite pode divergir para [+\infty) ou -\infty (ou não ter sequer uma tendência infinita bem definida, por oscilar).
Exemplos concretos:
Exemplo em que a razão diverge para infinito (ou seja, “não existe” como número real, mas diverge): tome f(x)=2 para todo x e g(x)=x-5. Então \displaystyle \lim_{x\to 5}f(x)=2, \displaystyle \lim_{x\to 5}g(x)=0, e
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2}{x-5},
que tende a +\infty quando x\to 5^+ e a -\infty quando x\to 5^-; portanto o limite em x\to 5 não existe como número real.
Exemplo em que a razão não tem sequer tendência infinita única (oscila entre +infinito e -infinito): defina
Então \displaystyle \lim_{x\to 5} g(x)=0\] e \(\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=2, mas \frac{f(x)}{g(x)} tende para +\infty ao se aproximar por racionais e para -\infty ao se aproximar por irracionais; assim não existe limite nem mesmo como infinito único.
Passo 5
Conclusão clara e amigável: com \displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=2 e \displaystyle \lim_{x\to 5} g(x)=0 não é possível que \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{f(x)}{g(x)} seja um número real; a razão ou diverge para infinito (dependendo do comportamento de g perto de 5) ou falha em ter qualquer tendência bem definida. Portanto a afirmação do enunciado é correta no sentido usual de limites reais.