Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
\lim _{x \rightarrow 5} f(x)=2\\") e \(\lim _{x \rightarrow 5} g(x)=0\\"), então \(\lim _{x \rightarrow 5}[f(x) / g(x)]\\") não existe.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • \displaystyle \lim_{x\to 5} f(x) = 2.
  • \displaystyle \lim_{x\to 5} g(x) = 0.
A afirmação a ser avaliada é: “Então \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{f(x)}{g(x)} não existe.” Precisa-se decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar.

Passo 2

Lembrete (fórmula e ideia que vou usar). Há um resultado padrão sobre limites de quociente:
  • Se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe e \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) existe com \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)\neq 0, então
\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)}{\displaystyle \lim_{x\to a} g(x)}.
Esse resultado NÃO se aplica quando \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=0. Então devemos analisar o caso especial em que o denominador tende a zero.

Passo 3

Mostrar que não pode haver um limite finito para \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} quando \displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=2 e \displaystyle \lim_{x\to 5} g(x)=0.
Explicação detalhada (prova por contradição / argumento com estimativas simples):
  • Como \displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=2, existe \delta_1>0 tal que, para 0<|x-5|<\delta_1, vale |f(x)-2|<1. Assim, para esses x temos
|f(x)| \ge |2| - |f(x)-2| > 2-1 =1.
Ou seja, próximo de 5 (exceto possivelmente em x=5), f(x) fica com magnitude maior que 1.
  • Como \displaystyle \lim_{x\to 5} g(x)=0, para qualquer \varepsilon>0 existe \delta_2>0 tal que, para 0<|x-5|<\delta_2, vale |g(x)|<\varepsilon.
Agora, escolha um número grande arbitrário M>0. Tome \varepsilon = 1/M. Então existe \delta_2>0 com |g(x)|<1/M sempre que 0<|x-5|<\delta_2. Seja \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Para qualquer x com 0<|x-5|<\delta temos simultaneamente |f(x)|>1 e |g(x)|<1/M. Portanto
\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| \;=\; \frac{|f(x)|}{|g(x)|} \;>\; \frac{1}{1/M} \;=\; M.
Como M era arbitrário, isso mostra que \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} fica arbitrariamente grande em magnitude quando x se aproxima de 5. Logo não existe limite finito L\in\mathbb{R} tal que \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{f(x)}{g(x)}=L.

Passo 4

Explicar a nuance: “não existe” pode significar duas coisas diferentes:
  • Não existe limite finito (já provado no Passo 3).
  • O limite pode divergir para [+\infty) ou -\infty (ou não ter sequer uma tendência infinita bem definida, por oscilar).
Exemplos concretos:
  • Exemplo em que a razão diverge para infinito (ou seja, “não existe” como número real, mas diverge): tome f(x)=2 para todo x e g(x)=x-5. Então \displaystyle \lim_{x\to 5}f(x)=2, \displaystyle \lim_{x\to 5}g(x)=0, e
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2}{x-5},
que tende a +\infty quando x\to 5^+ e a -\infty quando x\to 5^-; portanto o limite em x\to 5 não existe como número real.
  • Exemplo em que a razão não tem sequer tendência infinita única (oscila entre +infinito e -infinito): defina
g(x)=\begin{cases}x-5,& x\in\mathbb{Q},\\\\ -(x-5),& x\notin\mathbb{Q},\end{cases} \qquad f(x)=2.
Então \displaystyle \lim_{x\to 5} g(x)=0\] e \(\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=2, mas \frac{f(x)}{g(x)} tende para +\infty ao se aproximar por racionais e para -\infty ao se aproximar por irracionais; assim não existe limite nem mesmo como infinito único.

Passo 5

Conclusão clara e amigável: com \displaystyle \lim_{x\to 5} f(x)=2 e \displaystyle \lim_{x\to 5} g(x)=0 não é possível que \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{f(x)}{g(x)} seja um número real; a razão ou diverge para infinito (dependendo do comportamento de g perto de 5) ou falha em ter qualquer tendência bem definida. Portanto a afirmação do enunciado é correta no sentido usual de limites reais.

Resposta

Verdadeira.

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