Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-3}{x^{2}+2 x-4}=\frac{\lim _{x \rightarrow 1}(x-3)}{\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+2 x-4\right)}\

Passo 1

O enunciado dá a expressão cujo limite queremos avaliar em x\to1:
\lim_{x\to1}\frac{x-3}{x^{2}+2x-4}
e afirma que esse limite é igual ao quociente dos limites:
\frac{\lim_{x\to1}(x-3)}{\lim_{x\to1}\left(x^{2}+2x-4\right)}.
A pergunta é: essa igualdade é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador da função: x-3.
  • Denominador da função: x^{2}+2x-4.
  • Ponto onde tomamos o limite: x\to1.

Passo 2

Fato teórico (regra de limites que vamos usar). Sejam f(x) e g(x) duas funções tais que existam os limites
\lim_{x\to a} f(x)=L\quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} g(x)=M,
e além disso M\neq 0. Então vale a regra
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
O que isso significa, em palavras: se os limites do numerador e do denominador existem separadamente e o limite do denominador não é zero, então o limite do quociente existe e é simplesmente o quociente desses limites. Essa regra é usada porque, quando g(x) se aproxima de um número diferente de zero, dividir por g(x) não causa problemas de explosão ou indeterminação.

Passo 3

Calcular o limite do numerador. Como x-3 é um polinômio (função contínua), o limite ao aproximar x por 1 é o valor da função em 1. Assim:
\lim_{x\to1}(x-3)=1-3=-2.
Explicando devagar: “polinômio contínuo” quer dizer que não há quebras nem infinitos — aproximando x de 1 a expressão x-3 aproxima-se de 1-3.

Passo 4

Calcular o limite do denominador. Novamente x^{2}+2x-4 é um polinômio, logo contínuo; portanto
\lim_{x\to1}\left(x^{2}+2x-4\right)=1^{2}+2\cdot1-4=1+2-4=-1.

Passo 5

Verificar a condição para aplicar a regra do quociente: o limite do denominador é -1, que não é zero. Logo podemos aplicar a regra do Passo 2. Portanto
\lim_{x\to1}\frac{x-3}{x^{2}+2x-4}=\frac{\lim_{x\to1}(x-3)}{\lim_{x\to1}\left(x^{2}+2x-4\right)}=\frac{-2}{-1}=2.
Assim a igualdade dada no enunciado é verdadeira neste caso concreto — ambos os lados valem 2.

Passo 6

Observação importante (cuidado que costuma cair em prova): a regra do quociente só vale se o limite do denominador for diferente de zero. Sem essa condição a afirmação “o limite do quociente é o quociente dos limites” pode ser falsa. Exemplo que mostra o perigo:
\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x-1}=1
porque para x\neq1 a expressão simplifica para 1. Contudo
\lim_{x\to1}(x-1)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to1}(x-1)=0,
então o quociente dos limites seria \dfrac{0}{0}, que é indeterminado — a expressão do lado direito não faz sentido. Portanto, sem a condição \lim g(x)\neq0 a fórmula não é válida em geral. No nosso problema específico, porém, a condição é satisfeita ( -1\neq0), então a igualdade é correta.

Resposta

Verdadeira. \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x-3}{x^{2}+2x-4}=2

Exercícios relacionados