Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
O enunciado dá a expressão cujo limite queremos avaliar em
:
e afirma que esse limite é igual ao quociente dos limites:
A pergunta é: essa igualdade é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes fornecidas:
- Numerador da função:
. - Denominador da função:
. - Ponto onde tomamos o limite:
.
Passo 2
Fato teórico (regra de limites que vamos usar). Sejam
e
duas funções tais que existam os limites
e além disso
. Então vale a regra
O que isso significa, em palavras: se os limites do numerador e do denominador existem separadamente e o limite do denominador não é zero, então o limite do quociente existe e é simplesmente o quociente desses limites. Essa regra é usada porque, quando
se aproxima de um número diferente de zero, dividir por
não causa problemas de explosão ou indeterminação.
Passo 3
Calcular o limite do numerador. Como
é um polinômio (função contínua), o limite ao aproximar
por
é o valor da função em
. Assim:
Explicando devagar: “polinômio contínuo” quer dizer que não há quebras nem infinitos — aproximando
de
a expressão
aproxima-se de
.
Passo 4
Calcular o limite do denominador. Novamente
é um polinômio, logo contínuo; portanto
Passo 5
Verificar a condição para aplicar a regra do quociente: o limite do denominador é
, que não é zero. Logo podemos aplicar a regra do Passo 2. Portanto
Assim a igualdade dada no enunciado é verdadeira neste caso concreto — ambos os lados valem
.
Passo 6
Observação importante (cuidado que costuma cair em prova): a regra do quociente só vale se o limite do denominador for diferente de zero. Sem essa condição a afirmação “o limite do quociente é o quociente dos limites” pode ser falsa. Exemplo que mostra o perigo:
porque para
a expressão simplifica para
. Contudo
então o quociente dos limites seria
, que é indeterminado — a expressão do lado direito não faz sentido. Portanto, sem a condição
a fórmula não é válida em geral. No nosso problema específico, porém, a condição é satisfeita (
), então a igualdade é correta.
Resposta
Verdadeira.