Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
Se
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
- O enunciado diz que
tem domínio . - Afirma que
“não possui assíntota horizontal”. - Pergunta se disso segue necessariamente que
ou .
Ou seja: a pergunta é se a não existência de uma assíntota horizontal implica obrigatoriamente que a função diverge para
ou para
quando
.
Passo 2
Explico os conceitos que vamos usar (bem devagarinho).
- Definição de assíntota horizontal (no sentido usual): diz-se que a reta
é uma assíntota horizontal de quando
(Portanto “não possuir assíntota horizontal” significa, na prática, que
não existe como um número finito.)
- Definição de limite divergente para infinito: escrever
significa que os valores de ficam arbitrariamente grandes quando cresce; formalmente, para todo existe tal que . Analogamente para .
Esses são os dois comportamentos “extremos” possíveis: limite finito (assíntota horizontal), limite
ou
, ou nenhuma das anteriores (limite não existe e não diverge para
).
Passo 3
Raciocínio lógico: o enunciado supõe apenas que não há assíntota horizontal (ou seja, não há limite finito). Isso deixa três possibilidades gerais para
:
- A função diverge para
. - A função diverge para
. - O limite não existe, mas sem divergir para
— por exemplo, a função pode oscilar entre valores finitos sem se aproximar de um único número e sem crescer sem limite.
O enunciado afirma que só as opções 1 ou 2 podem ocorrer. Vou mostrar que isso é falso, produzindo um contraexemplo concreto que cai na opção 3.
Passo 4
Contraexemplo simples e claro: tomar
definida para
(é perfeitamente válido restringir o domínio da função seno para
).
Agora justifico por que este
satisfaz as hipóteses e viola a conclusão.
-
não possui assíntota horizontal: isto equivale a dizer que não existe como número finito. Para ver isso de forma simples, use duas sequências que tendem a mas cujo seno tem limites diferentes: - Se
com , então e para todo , logo a subsequência toma o valor . - Se
, então e para todo , logo essa subsequência toma o valor .
Como há duas subsequências com limites diferentes (e ), não existe limite único . Portanto não há assíntota horizontal.
- Se
-
também não diverge para nem para : temos a desigualdade para todo então os valores permanecem sempre dentro do intervalo. Isso impede que tenda a ou a .
Assim
é um exemplo que satisfaz a hipótese ("domínio
" e “não possui assíntota horizontal”) mas não satisfaz a conclusão (não tende para
nem para
). Logo a afirmação é falsa.
Passo 5
Observações extras (úteis para a prova e para fixar a ideia):
- Muitas funções oscilatórias (como
, , ou funções que misturam uma oscilação com um termo pequeno que não anula a oscilação) não têm assíntota horizontal e também não divergem para . São contraexemplos naturais. - Para que a conclusão do enunciado fosse verdadeira seria necessário acrescentar hipóteses adicionais, por exemplo algo que impeça oscilações persistentes (como monotonicidade a partir de algum ponto, ou ser não-negativa e monotônica, etc.). Por exemplo, se
fosse monotônica e não tivesse limite finito, aí sim teria que divergir para ou .
Resposta
Falsa.