Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f\\") tem domínio \([0, \infty)\\") e não possui assíntota horizontal, então \(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty\\") ou \(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-\infty\\").

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
  • O enunciado diz que f tem domínio [0,\infty).
  • Afirma que f “não possui assíntota horizontal”.
  • Pergunta se disso segue necessariamente que \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty ou \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty.
Ou seja: a pergunta é se a não existência de uma assíntota horizontal implica obrigatoriamente que a função diverge para +\infty ou para -\infty quando x\to\infty.

Passo 2

Explico os conceitos que vamos usar (bem devagarinho).
  • Definição de assíntota horizontal (no sentido usual): diz-se que a reta y=L é uma assíntota horizontal de f quando
\lim_{x\to\infty} f(x)=L.
(Portanto “não possuir assíntota horizontal” significa, na prática, que \lim_{x\to\infty} f(x) não existe como um número finito.)
  • Definição de limite divergente para infinito: escrever \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty significa que os valores de f(x) ficam arbitrariamente grandes quando x cresce; formalmente, para todo M>0 existe X tal que x>X\Rightarrow f(x)>M. Analogamente para \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty.
Esses são os dois comportamentos “extremos” possíveis: limite finito (assíntota horizontal), limite +\infty ou -\infty, ou nenhuma das anteriores (limite não existe e não diverge para \pm\infty).

Passo 3

Raciocínio lógico: o enunciado supõe apenas que não há assíntota horizontal (ou seja, não há limite finito). Isso deixa três possibilidades gerais para \lim_{x\to\infty} f(x):
  1. A função diverge para +\infty.
  2. A função diverge para -\infty.
  3. O limite não existe, mas sem divergir para \pm\infty — por exemplo, a função pode oscilar entre valores finitos sem se aproximar de um único número e sem crescer sem limite.
O enunciado afirma que só as opções 1 ou 2 podem ocorrer. Vou mostrar que isso é falso, produzindo um contraexemplo concreto que cai na opção 3.

Passo 4

Contraexemplo simples e claro: tomar
f(x)=\sin x,
definida para x\in[0,\infty) (é perfeitamente válido restringir o domínio da função seno para [0,\infty)).
Agora justifico por que este f satisfaz as hipóteses e viola a conclusão.
  • f não possui assíntota horizontal: isto equivale a dizer que \displaystyle \lim_{x\to\infty}\sin x não existe como número finito. Para ver isso de forma simples, use duas sequências que tendem a +\infty mas cujo seno tem limites diferentes:
    • Se x_n=2\pi n com n\in\mathbb{N}, então x_n\to\infty e \sin x_n=0 para todo n, logo a subsequência toma o valor 0.
    • Se y_n=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n, então y_n\to\infty e \sin y_n=1 para todo n, logo essa subsequência toma o valor 1.
      Como há duas subsequências com limites diferentes ( 0 e 1), não existe limite único \displaystyle \lim_{x\to\infty}\sin x. Portanto não há assíntota horizontal.
  • \sin x também não diverge para +\infty nem para -\infty: temos a desigualdade para todo x
    -1\le \sin x\le 1,
    então os valores permanecem sempre dentro do intervalo [-1,1]. Isso impede que \sin x tenda a +\infty ou a -\infty.
Assim f(x)=\sin x é um exemplo que satisfaz a hipótese ("domínio [0,\infty)" e “não possui assíntota horizontal”) mas não satisfaz a conclusão (não tende para \infty nem para -\infty). Logo a afirmação é falsa.

Passo 5

Observações extras (úteis para a prova e para fixar a ideia):
  • Muitas funções oscilatórias (como \sin x, \cos x, ou funções que misturam uma oscilação com um termo pequeno que não anula a oscilação) não têm assíntota horizontal e também não divergem para \pm\infty. São contraexemplos naturais.
  • Para que a conclusão do enunciado fosse verdadeira seria necessário acrescentar hipóteses adicionais, por exemplo algo que impeça oscilações persistentes (como monotonicidade a partir de algum ponto, ou ser não-negativa e monotônica, etc.). Por exemplo, se f fosse monotônica e não tivesse limite finito, aí sim teria que divergir para +\infty ou -\infty.

Resposta

Falsa.

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