Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
existe, então
Se existe, então
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação 1:
para todo . - Informação 2:
existe (ou seja, o limite lateral à esquerda e à direita existem e são iguais). - Pergunta: a afirmação "então
" é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Intuição (sem resolver ainda): um limite
é o valor que
se aproxima quando
se aproxima de
, considerando somente valores de
diferentes de
. O valor de
não interfere na definição do limite. Por isso é plausível que mesmo com
para todo
a função possa aproximar-se de
pela direita (ou pela esquerda), dando limite igual a
. Vamos construir um contraexemplo explícito para mostrar que a afirmação é falsa, e depois provar rigorosamente que o contraexemplo funciona.
Passo 3
Construção do contraexemplo: definir a função
Verificar a hipótese
:
- Se
então e portanto . - Se
então .
Logo, para todotemos . A condição do enunciado está satisfeita.]
Passo 4
Provar que
existe e calcular seu valor. Para
temos
. Então, para
,
Dado
, escolha
. Se
então
. Isso mostra, pela definição
-
de limite, que
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 5
Concluindo a partir do contraexemplo: temos uma função
que satisfaz
para todo
e tal que
. Isso contradiz a afirmação "se
para todo
e
existe, então
". Logo a afirmação é falsa.
Passo 6
Comentário didático (quando a afirmação seria verdadeira): para garantir que o limite seja estritamente maior que
seria preciso um fortalecimento da hipótese, por exemplo: existir
e
tais que
para todo
com
. Nesse caso, se
existe, então
. Uma prova rápida: se
então escolhendo
haveria pontos próximos a
com
dentro de
de
, o que contradiz
.
Resposta
Falsa.