Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f(x)>1\\") para todo \(x\\") e \(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)\ existe, então \lim _{x \rightarrow 0} f(x)>1\\").

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: f(x)>1 para todo x.
  • Informação 2: \lim_{x\to 0} f(x) existe (ou seja, o limite lateral à esquerda e à direita existem e são iguais).
  • Pergunta: a afirmação "então \lim_{x\to 0} f(x)>1" é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Intuição (sem resolver ainda): um limite \lim_{x\to 0} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 0, considerando somente valores de x diferentes de 0. O valor de f(0) não interfere na definição do limite. Por isso é plausível que mesmo com f(x)>1 para todo x a função possa aproximar-se de 1 pela direita (ou pela esquerda), dando limite igual a 1. Vamos construir um contraexemplo explícito para mostrar que a afirmação é falsa, e depois provar rigorosamente que o contraexemplo funciona.

Passo 3

Construção do contraexemplo: definir a função f\) por \[f(x)=\begin{cases} 1+|x|, & \text{se } x\neq 0,\\[4pt] 2, & \text{se } x=0. \end{cases}
Verificar a hipótese f(x)>1\] para todo \(x:
  • Se x\neq 0 então |x|>0 e portanto f(x)=1+|x|>1.
  • Se x=0 então f(0)=2>1.
    Logo, para todo x temos f(x)>1. A condição do enunciado está satisfeita.]

Passo 4

Provar que \lim_{x\to 0} f(x) existe e calcular seu valor. Para x\neq 0 temos f(x)=1+|x|. Então, para x\neq 0,
|f(x)-1|=|1+|x|-1|=|x|.
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se 0<|x|<\delta então |f(x)-1|=|x|<\delta=\varepsilon. Isso mostra, pela definição \varepsilon- \delta de limite, que
\lim_{x\to 0} f(x)=1.
Portanto o limite existe e vale 1.

Passo 5

Concluindo a partir do contraexemplo: temos uma função f que satisfaz f(x)>1 para todo x e tal que \lim_{x\to 0} f(x)=1. Isso contradiz a afirmação "se f(x)>1 para todo x e \lim_{x\to 0} f(x) existe, então \lim_{x\to 0} f(x)>1". Logo a afirmação é falsa.

Passo 6

Comentário didático (quando a afirmação seria verdadeira): para garantir que o limite seja estritamente maior que 1 seria preciso um fortalecimento da hipótese, por exemplo: existir m>1 e \delta>0 tais que f(x)\ge m para todo x com 0<|x|<\delta. Nesse caso, se \lim_{x\to 0} f(x)=L existe, então L\ge m>1. Uma prova rápida: se L<m então escolhendo \varepsilon=(m-L)/2 haveria pontos próximos a 0 com f(x) dentro de \varepsilon de L, o que contradiz f(x)\ge m.

Resposta

Falsa.

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