Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
Se
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a afirmação é verdadeira ou falsa; a afirmação é:
Informações dadas:
- Está assumido que existe uma função
com derivada . - A hipótese é que
é contínua em . - A conclusão proposta é que
é diferenciável em (isto é, que existe).
O objetivo: decidir se essa implicação é válida; se for falsa, fornecer um contraexemplo e explicar por quê.
Passo 2
Definições importantes (passo-a-passo e sem pular etapas).
- Definição de continuidade em
: a função é contínua em quando
Isto significa que, ao aproximar
de
, os valores
se aproximam de
.
- Definição de diferenciabilidade em
: a função é diferenciável em quando o limite
existe (e é finito). Esse limite, quando existe, é a derivada
.
Observação clara: continuidade de em
significa informação sobre valores e limites de
, enquanto diferenciabilidade exige que a taxa de variação (o quociente incremental) tenha um limite — é uma exigência mais forte. É possível uma função ser contínua em
mas não ter derivada em
.
Observação clara: continuidade de
Passo 3
Estratégia lógica para decidir a afirmação.
- Se a afirmação fosse verdadeira, toda função
cuja derivada seja contínua em teria existente. - Para mostrar que a afirmação é falsa basta encontrar um contraexemplo: uma função
tal que seja contínua em mas não seja diferenciável em .
Vou construir um exemplo explícito e verificar passo a passo que satisfaz a hipótese e viola a conclusão.
Passo 4
Construção do contraexemplo (função simples e bem conhecida).
Considere a função
Considere a função
Primeiro, vamos obter
para todo
.
- Para
: , então e
- Para
: , então e
- Em
pode-se calcular o quociente diferencial de :
Juntando as expressões, obtemos para todo
Portanto
é a função
.
Passo 5
Verificação da hipótese:
é contínua em
.
A função é contínua em todo ponto, em particular em
, porque
A função
Logo a hipótese (que
é contínua em
) é satisfeita com
.
Passo 6
Verificação da conclusão (diferenciabilidade de
em
) — mostra que falha.
Queremos ver se é diferenciável em
, isto é, se existe
Queremos ver se
Calcule as duas chaves laterais:
- Para
: . - Para
: .
Como os limites laterais são diferentes (e ), o limite total não existe. Portanto não é diferenciável em ; isto é, não existe.
Passo 7
Conclusão lógica com interpretação geométrica e didática.
- O exemplo mostra que é possível ter
contínua em (aqui ) sem que seja diferenciável em . - Intuição geométrica:
tem derivada , que é contínua mas possui um “canto” em ; cantos dão continuidade mas impedem a existência de uma inclinação bem definida da função naquele ponto, logo não é diferenciável ali. - Comentário prático para prova: continuidade de uma função não implica diferenciabilidade; use sempre contraexemplos como
(contínua, não diferenciável em ) quando precisar contrariar uma afirmação do tipo “continuidade implica diferenciabilidade”.
Resposta
Falsa. Contraexemplo: tome
. Então
, que é contínua em
mas não é diferenciável em
(pois
não existe).