Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f\\") for contínua em \(a\\"), então \(f\\") é diferenciável em \(a\\").

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a afirmação é verdadeira ou falsa; a afirmação é:
\text{Se }f'\text{ for contínua em }a,\text{ então }f'\text{ é diferenciável em }a.íãéá
Informações dadas:
  • Está assumido que existe uma função f com derivada f'.
  • A hipótese é que f' é contínua em a.
  • A conclusão proposta é que f' é diferenciável em a (isto é, que f''(a) existe).
    O objetivo: decidir se essa implicação é válida; se for falsa, fornecer um contraexemplo e explicar por quê.

Passo 2

Definições importantes (passo-a-passo e sem pular etapas).
  • Definição de continuidade em a: a função g é contínua em a quando
\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Isto significa que, ao aproximar x de a, os valores g(x) se aproximam de g(a).
  • Definição de diferenciabilidade em a: a função g é diferenciável em a quando o limite
\lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}
existe (e é finito). Esse limite, quando existe, é a derivada g'(a).
Observação clara: continuidade de g em a significa informação sobre valores e limites de g, enquanto diferenciabilidade exige que a taxa de variação (o quociente incremental) tenha um limite — é uma exigência mais forte. É possível uma função ser contínua em a mas não ter derivada em a.

Passo 3

Estratégia lógica para decidir a afirmação.
  • Se a afirmação fosse verdadeira, toda função f cuja derivada f' seja contínua em a teria f''(a) existente.
  • Para mostrar que a afirmação é falsa basta encontrar um contraexemplo: uma função f tal que f' seja contínua em a mas f' não seja diferenciável em a.
    Vou construir um exemplo explícito e verificar passo a passo que satisfaz a hipótese e viola a conclusão.

Passo 4

Construção do contraexemplo (função simples e bem conhecida).
Considere a função
f(x)=\frac{1}{2}\,x|x|.
Primeiro, vamos obter f'(x) para todo x.
  • Para x>0: |x|=x, então f(x)=\frac{1}{2}x^2 e
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\tfrac{1}{2}x^2\right)=x.
  • Para x<0: |x|=-x, então f(x)=\frac{1}{2}x(-x)=-\tfrac{1}{2}x^2 e
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(-\tfrac{1}{2}x^2\right)=-x.
  • Em x=0 pode-se calcular o quociente diferencial de f:
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\tfrac{1}{2}h|h|-0}{h}=\lim_{h\to0}\tfrac{1}{2}|h|=\;0.
Juntando as expressões, obtemos para todo x
f'(x)=|x|.
Portanto f' é a função x\mapsto|x|.

Passo 5

Verificação da hipótese: f' é contínua em 0.
A função x\mapsto|x| é contínua em todo ponto, em particular em a=0, porque
\lim_{x\to0}|x|=0=|0|.
Logo a hipótese (que f' é contínua em a) é satisfeita com a=0.

Passo 6

Verificação da conclusão (diferenciabilidade de f' em 0) — mostra que falha.
Queremos ver se f' é diferenciável em 0, isto é, se existe
\lim_{h\to0}\frac{f'(0+h)-f'(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}.
Calcule as duas chaves laterais:
  • Para h>0: \dfrac{|h|}{h}=1.
  • Para h<0: \dfrac{|h|}{h}=-1.
    Como os limites laterais são diferentes ( 1 e -1), o limite total não existe. Portanto f' não é diferenciável em 0; isto é, f''(0) não existe.

Passo 7

Conclusão lógica com interpretação geométrica e didática.
  • O exemplo mostra que é possível ter f' contínua em a (aqui a=0) sem que f' seja diferenciável em a.
  • Intuição geométrica: f tem derivada f'=\lvert x\rvert, que é contínua mas possui um “canto” em 0; cantos dão continuidade mas impedem a existência de uma inclinação bem definida da função f' naquele ponto, logo f' não é diferenciável ali.
  • Comentário prático para prova: continuidade de uma função não implica diferenciabilidade; use sempre contraexemplos como g(x)=|x| (contínua, não diferenciável em 0) quando precisar contrariar uma afirmação do tipo “continuidade implica diferenciabilidade”.

Resposta

Falsa. Contraexemplo: tome f(x)=\dfrac{1}{2}x|x|. Então f'(x)=|x|, que é contínua em 0 mas não é diferenciável em 0 (pois \lim_{h\to0}\dfrac{|h|}{h} não existe).

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