Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f for derivável, então \frac{d}{d x} f(\sqrt{x})=\frac{f^{\prime}(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação
\text{Se }f\text{ for derivável, então }\frac{d}{dx}f(\sqrt{x})=\frac{f'(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.áã
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou fornecer um contraexemplo. Informações relevantes dadas:
  • f é assumida derivável (interpreta-se: f é derivável onde necessário).
  • A expressão envolve a função composta g(x)=f(\sqrt{x}) e sua derivada.
    Nada mais foi especificado sobre o domínio de f nem sobre os pontos x (por exemplo, se x=0 está incluído).

Passo 2

Vou lembrar uma ferramenta central que usamos aqui: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte (explicando passo a passo):
  • Se u(x) e f(t) são funções tais que u é diferenciável em x e f é diferenciável em t=u(x), então a composta g(x)=f(u(x)) é diferenciável em x e vale
g'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x).
  • Nessa fórmula, f'(u(x)) significa a derivada de f avaliada no ponto t=u(x) e u'(x) é a derivada de u no ponto x. A regra da cadeia exige que ambas as derivadas (a de u em x e a de f em u(x)) existam.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia com u(x)=\sqrt{x}:
  • Primeiro calculamos u'(x). Para x>0 a derivada de \sqrt{x} é bem conhecida e tem explicação direta: escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2} e derivando com a regra do poder obtemos
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\qquad\text{para }x>0.
  • Importante: em x=0 a derivada u'(0) não existe como número finito. Uma forma direta de ver isso é calcular o limite
\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}=+\infty,
logo u'(0) não existe (é infinito). Portanto a expressão \dfrac{1}{2\sqrt{x}} só faz sentido como derivada de \sqrt{x} para x>0.

Passo 4

Conclusão parcial pela regra da cadeia: para qualquer x>0 em que f seja diferenciável em t=\sqrt{x}, a derivada da composta existe e
\frac{d}{dx}f(\sqrt{x})=f'(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{f'(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.
Ou seja, a fórmula é correta para x>0 (assumindo que f é derivável em \sqrt{x}). O ponto crítico é x=0: aí a derivada de \sqrt{x} não existe, de modo que a hipótese da regra da cadeia falha e não se pode afirmar a igualdade genérica em x=0. Portanto a afirmação do enunciado, escrita sem ressalvas de domínio, é suspeita: pode ser falsa em x=0.

Passo 5

Vou dar um contraexemplo explícito para mostrar que, tal como está escrita (sem restrição de x), a afirmação é falsa.
Escolha f(t)=t^2. Essa f é derivável em todo ponto e f'(t)=2t.
  • A função composta é g(x)=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x para x\ge0. Então g'(x)=1 para todo x\ge0, em particular g'(0)=1.
  • Agora calcule a expressão do lado direito da afirmação:
\frac{f'(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=1\qquad\text{para }x>0.
Para x=0 essa expressão é \dfrac{f'(\sqrt{0})}{2\sqrt{0}}=\dfrac{f'(0)}{0}=\dfrac{0}{0}, que é indefinida (não é um número).
  • Comparando: em x=0 a derivada \dfrac{d}{dx}f(\sqrt{x}) existe e vale 1, enquanto o lado direito \dfrac{f'(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} é indefinido em x=0. Assim a igualdade proposta não é verdadeira em x=0.
Esse contraexemplo mostra que a formulação sem restrição de domínio é falsa.

Passo 6

Resumo intuitivo e recomendação para a prova (o que decorar):
  • Regra prática correta: para x>0 (onde \sqrt{x} é diferenciável) e supondo f derivável em t=\sqrt{x},
\frac{d}{dx}f(\sqrt{x})=\frac{f'(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.
  • Em x=0 a igualdade pode falhar (a derivada de \sqrt{x} não existe como número finito), então é obrigatório tratar o ponto x=0 separadamente. Não afirme a igualdade para todo x sem checar x=0.

Resposta

Falsa

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