Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
for derivável, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a afirmação
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou fornecer um contraexemplo. Informações relevantes dadas:
-
é assumida derivável (interpreta-se: é derivável onde necessário). - A expressão envolve a função composta
e sua derivada.
Nada mais foi especificado sobre o domínio denem sobre os pontos (por exemplo, se está incluído).
Passo 2
Vou lembrar uma ferramenta central que usamos aqui: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte (explicando passo a passo):
- Se
e são funções tais que é diferenciável em e é diferenciável em , então a composta é diferenciável em e vale
- Nessa fórmula,
significa a derivada de avaliada no ponto e é a derivada de no ponto . A regra da cadeia exige que ambas as derivadas (a de em e a de em ) existam.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia com
:
- Primeiro calculamos
. Para a derivada de é bem conhecida e tem explicação direta: escrevendo e derivando com a regra do poder obtemos
- Importante: em
a derivada não existe como número finito. Uma forma direta de ver isso é calcular o limite
logo
não existe (é infinito). Portanto a expressão
só faz sentido como derivada de
para
.
Passo 4
Conclusão parcial pela regra da cadeia: para qualquer
em que
seja diferenciável em
, a derivada da composta existe e
Ou seja, a fórmula é correta para
(assumindo que
é derivável em
). O ponto crítico é
: aí a derivada de
não existe, de modo que a hipótese da regra da cadeia falha e não se pode afirmar a igualdade genérica em
. Portanto a afirmação do enunciado, escrita sem ressalvas de domínio, é suspeita: pode ser falsa em
.
Passo 5
Vou dar um contraexemplo explícito para mostrar que, tal como está escrita (sem restrição de
), a afirmação é falsa.
Escolha
. Essa
é derivável em todo ponto e
.
- A função composta é
para . Então para todo , em particular . - Agora calcule a expressão do lado direito da afirmação:
Para
essa expressão é
, que é indefinida (não é um número).
- Comparando: em
a derivada existe e vale , enquanto o lado direito é indefinido em . Assim a igualdade proposta não é verdadeira em .
Esse contraexemplo mostra que a formulação sem restrição de domínio é falsa.
Passo 6
Resumo intuitivo e recomendação para a prova (o que decorar):
- Regra prática correta: para
(onde é diferenciável) e supondo derivável em ,
- Em
a igualdade pode falhar (a derivada de não existe como número finito), então é obrigatório tratar o ponto separadamente. Não afirme a igualdade para todo sem checar .
Resposta
Falsa