Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa:
Informações dadas (diretas do enunciado):
- As expressões a serem diferenciadas são
e . - A tarefa: afirmar se as derivadas são iguais; se sim, justificar; se não, explicar por que ou dar um contraexemplo.
Passo 2
Lembrar uma identidade trigonométrica básica que liga as duas funções:
Breve justificativa dessa identidade: partir de
e dividir ambos os lados por
resulta em
. Esta identidade vale para todos
tais que
.
Passo 3
Diferenciando a identidade
em relação a
(onde as funções são diferenciáveis), obtemos
Como
, segue imediatamente que
Isto já mostra, de modo curto, que as duas derivadas são iguais em todos os pontos onde ambas as funções são diferenciáveis.
Passo 4
Para aprender como fazer isso “na prova” sem confiar só na identidade, vamos diferenciar cada lado explicitamente usando a regra da cadeia e as derivadas trigonométricas básicas.
Regra da cadeia (lembrando): se
então
. Aqui, para
tomada como
com
, tem-se
e
. Assim
Para
podemos fazer de duas maneiras; usando regra da cadeia com
e
, ou usando produto. Aplicando cadeia:
com
,
e
. Logo
Passo 5
Comparando as duas expressões obtidas:
Pela comutatividade da multiplicação,
. Portanto as derivadas coincidêm exatamente.
Passo 6
Observação sobre domínio: a igualdade das derivadas vale para todos os
onde as funções estão definidas e diferenciáveis, isto é, para todos
tais que
(ou seja,
,
), porque em pontos onde
nem
nem
são definidos. Em todos os outros pontos a igualdade é verdadeira.
Passo 7
Pequena checagem numérica para ganhar confiança (exemplo): em
,
concordando com o resultado geral.
Resposta
Verdadeira.