Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
\frac{d}{d x}\left(\operatorname{tg}^{2} x\right)=\frac{d}{d x}\left(\operatorname{sec} ^{2} x\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^{2}x\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr).
Informações dadas (diretas do enunciado):
  • As expressões a serem diferenciadas são \tan^{2}x e \operatorname{sec}^{2}x.
  • A tarefa: afirmar se as derivadas são iguais; se sim, justificar; se não, explicar por que ou dar um contraexemplo.

Passo 2

Lembrar uma identidade trigonométrica básica que liga as duas funções:
\operatorname{sec}^{2}x = 1 + \tan^{2}x.
Breve justificativa dessa identidade: partir de \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 e dividir ambos os lados por \cos^{2}x resulta em \tan^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x. Esta identidade vale para todos x tais que \cos x\neq0.

Passo 3

Diferenciando a identidade \operatorname{sec}^{2}x = 1 + \tan^{2}x em relação a x (onde as funções são diferenciáveis), obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(1+\tan^{2}x\bigr).
Como \dfrac{d}{dx}(1)=0, segue imediatamente que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(\tan^{2}x\bigr).
Isto já mostra, de modo curto, que as duas derivadas são iguais em todos os pontos onde ambas as funções são diferenciáveis.

Passo 4

Para aprender como fazer isso “na prova” sem confiar só na identidade, vamos diferenciar cada lado explicitamente usando a regra da cadeia e as derivadas trigonométricas básicas.
Regra da cadeia (lembrando): se h(x)=f(g(x)) então h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). Aqui, para \tan^{2}x tomada como f(u)=u^{2} com u=\tan x, tem-se f'(u)=2u e u'=\dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^{2}x\bigr)=2\,\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.
Para \operatorname{sec}^{2}x podemos fazer de duas maneiras; usando regra da cadeia com v=\operatorname{sec} x e v^{2}, ou usando produto. Aplicando cadeia: g(w)=w^{2} com w=\operatorname{sec} x, g'(w)=2w e w'=\dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr)=2\,\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)=2\,\operatorname{sec}^{2}x\cdot\tan x.

Passo 5

Comparando as duas expressões obtidas:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^{2}x\bigr)=2\,\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x \qquad\text{e}\qquad \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr)=2\,\operatorname{sec}^{2}x\cdot\tan x.
Pela comutatividade da multiplicação, 2\,\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x=2\,\operatorname{sec}^{2}x\cdot\tan x. Portanto as derivadas coincidêm exatamente.

Passo 6

Observação sobre domínio: a igualdade das derivadas vale para todos os x onde as funções estão definidas e diferenciáveis, isto é, para todos x tais que \cos x\neq 0 (ou seja, x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}), porque em pontos onde \cos x=0 nem \tan x nem \operatorname{sec} x são definidos. Em todos os outros pontos a igualdade é verdadeira.

Passo 7

Pequena checagem numérica para ganhar confiança (exemplo): em x=0,
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^{2}x\bigr)\Big|_{x=0}=2\tan 0\cdot\operatorname{sec}^{2}0=0, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}^{2}x\bigr)\Big|_{x=0}=2\operatorname{sec}^{2}0\cdot\tan 0=0,
concordando com o resultado geral.

Resposta

Verdadeira.

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