Questão 1. Suponha que um tanque contenha 200 litros de água pura e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 litros por minuto possuindo uma concentração de
gramas de sal por litro (
em minutos). Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 1 litro por minuto. Modele o problema encontrando uma equação diferencial para a quantidade de sal no tanque,
. Encontre a solução geral da equação diferencial e a quantidade de sal em função do tempo. Qual o valor da concentração no momento em que o tanque enche, se a sua capacidade é de 400 litros?
-
gramas por litro.
d
gramas por litro.
(b)
gramas por litro.
(e)
gramas por litro.
c
gramas por litro.
(f
gramas por litro.
d
(b)
(e)
c
(f
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
-
Informações do enunciado:
- Volume inicial de água:
litros. - Solução entra a uma taxa de
litros por minuto. - Concentração da solução que entra:
gramas de sal por litro, onde está em minutos. - Solução bem misturada sai a uma taxa de
litro por minuto. - Capacidade do tanque:
litros. - Condição inicial de sal: o tanque contém água pura, logo a quantidade inicial de sal é
gramas.
- Volume inicial de água:
-
O que é pedido:
- Modelar o problema encontrando a equação diferencial para a quantidade de sal no tanque
. - Encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução particular que satisfaz
(ou seja, a quantidade de sal em função do tempo). - Determinar a concentração no momento em que o tanque enche (capacidade
L).
- Modelar o problema encontrando a equação diferencial para a quantidade de sal no tanque
A partir dessas informações, no passo seguinte começo a montar o modelo (equação diferencial).
Passo 2
Determinar o volume do líquido no tanque em função do tempo, pois a saída depende da concentração interna.
- A vazão de entrada é
L/min e a de saída é L/min, então a taxa de variação do volume é L/min. - Volume inicial
L, logo o volume em tempo é
- O tanque enche quando
. Então o tempo de enchimento satisfaz
Passo 3
Montar a equação diferencial para
com a regra: taxa de variação da quantidade = taxa de entrada de sal − taxa de saída de sal.
- Taxa de entrada de sal (g/min):
- Vazão de entrada
concentração da entrada:
(unidade: gramas por minuto) - Vazão de entrada
- Taxa de saída de sal (g/min):
- Vazão de saída
concentração no tanque :
- Vazão de saída
- Portanto a equação diferencial é
Passo 4
Identificar o tipo de equação e preparar para resolver: é uma equação linear de primeira ordem.
- A equação pode ser escrita na forma padrão
- Para resolver uma equação linear
usamos o fator integrante .
Aqui
. Calculo o fator integrante.
Passo 5
Calcular o fator integrante e transformar a equação para uma forma integrável.
- Calcule o fator integrante:
- Multiplicando a equação padrão por
:
- O lado esquerdo é derivada do produto
, pois
- Então obtemos
Passo 6
Integrar ambos os lados para obter
e, em seguida,
geral.
- Integro em
:
- Faça a substituição
(ou reconheça a integral direta):
- Então
- Isolando
:
Passo 7
Determinar a constante
usando a condição inicial
.
- Substituindo
em :
- Calcule
: -
. -
. - Multiplicando por
dá .
-
- Assim
- Logo a solução particular é
Passo 8
Simplificar a expressão de
para uma forma mais limpa e verificar consistência.
- Note que
. - Então podemos escrever
- Verificação rápida: em
os dois termos se cancelam e (confirmado).
Passo 9
Calcular a concentração quando o tanque enche, ou seja em
minutos.
- Primeiro calcule
. Como então
- Calcule cada termo:
-
- Assim
- Volume no enchimento
L. A concentração desejada é :
- Isso corresponde à alternativa
.