Questão 1. Suponha que um tanque contenha 200 litros de água pura e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 litros por minuto possuindo uma concentração de (t+200) 10^{-4} gramas de sal por litro ( t em minutos). Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 1 litro por minuto. Modele o problema encontrando uma equação diferencial para a quantidade de sal no tanque, Q(t). Encontre a solução geral da equação diferencial e a quantidade de sal em função do tempo. Qual o valor da concentração no momento em que o tanque enche, se a sua capacidade é de 400 litros?
  • \frac{7}{300} gramas por litro.
    d \frac{1}{80} gramas por litro.
    (b) \frac{1}{100} gramas por litro.
    (e) \frac{7}{200} gramas por litro.
    c \frac{1}{90} gramas por litro.
    (f \frac{7}{100} gramas por litro.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Informações do enunciado:
    • Volume inicial de água: 200 litros.
    • Solução entra a uma taxa de 2 litros por minuto.
    • Concentração da solução que entra: (t+200)\,10^{-4} gramas de sal por litro, onde t está em minutos.
    • Solução bem misturada sai a uma taxa de 1 litro por minuto.
    • Capacidade do tanque: 400 litros.
    • Condição inicial de sal: o tanque contém água pura, logo a quantidade inicial de sal é Q(0)=0 gramas.
  • O que é pedido:
    1. Modelar o problema encontrando a equação diferencial para a quantidade de sal no tanque Q(t).
    2. Encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução particular que satisfaz Q(0)=0 (ou seja, a quantidade de sal em função do tempo).
    3. Determinar a concentração no momento em que o tanque enche (capacidade 400 L).
A partir dessas informações, no passo seguinte começo a montar o modelo (equação diferencial).

Passo 2

Determinar o volume do líquido no tanque em função do tempo, pois a saída depende da concentração interna.
  • A vazão de entrada é 2 L/min e a de saída é 1 L/min, então a taxa de variação do volume é 2-1=1 L/min.
  • Volume inicial V(0)=200 L, logo o volume em tempo t é
V(t)=200+t.
  • O tanque enche quando V(t)=400. Então o tempo de enchimento t^* satisfaz
200+t^*=400 \quad\Rightarrow\quad t^*=200\\ \text{minutos}.

Passo 3

Montar a equação diferencial para Q(t) com a regra: taxa de variação da quantidade = taxa de entrada de sal − taxa de saída de sal.
  • Taxa de entrada de sal (g/min):
    • Vazão de entrada \times concentração da entrada:
    \text{entrada} = 2\cdot (t+200)\,10^{-4}.(unidade: gramas por minuto)
  • Taxa de saída de sal (g/min):
    • Vazão de saída \times concentração no tanque =1\cdot \dfrac{Q(t)}{V(t)}:
    \text{saída} = 1\cdot \frac{Q(t)}{200+t} = \frac{Q(t)}{200+t}.í
  • Portanto a equação diferencial é
\frac{dQ}{dt} = 2\cdot 10^{-4}(t+200) - \frac{Q}{200+t}.

Passo 4

Identificar o tipo de equação e preparar para resolver: é uma equação linear de primeira ordem.
  • A equação pode ser escrita na forma padrão
\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{200+t}\,Q = 2\cdot 10^{-4}(t+200).
  • Para resolver uma equação linear \dfrac{dQ}{dt} + p(t)Q = g(t) usamos o fator integrante \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Aqui p(t)=\dfrac{1}{200+t}. Calculo o fator integrante.

Passo 5

Calcular o fator integrante e transformar a equação para uma forma integrável.
  • Calcule o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{200+t}\,dt\right)=\exp\!\big(\ln(200+t)\big)=200+t.
  • Multiplicando a equação padrão por \mu(t):
(200+t)\frac{dQ}{dt} + \frac{200+t}{200+t}\,Q = (200+t)\,2\cdot 10^{-4}(t+200).
  • O lado esquerdo é derivada do produto (200+t)Q, pois
\frac{d}{dt}\big((200+t)Q\big)=(200+t)\frac{dQ}{dt}+Q.
  • Então obtemos
\frac{d}{dt}\big((200+t)Q\big) = 2\cdot 10^{-4}(t+200)^2.

Passo 6

Integrar ambos os lados para obter (200+t)Q e, em seguida, Q(t) geral.
  • Integro em t:
(200+t)Q = \int 2\cdot 10^{-4}(t+200)^2\,dt + C.
  • Faça a substituição u=t+200 (ou reconheça a integral direta):
\int 2\cdot 10^{-4}u^2\,du = 2\cdot 10^{-4}\cdot \frac{u^3}{3} = \frac{2}{3}\,10^{-4} (t+200)^3.
  • Então
(200+t)Q = \frac{2}{3}\,10^{-4}(t+200)^3 + C.
  • Isolando Q(t):
Q(t) = \frac{2}{3}\,10^{-4}(t+200)^2 + \frac{C}{t+200}.

Passo 7

Determinar a constante C usando a condição inicial Q(0)=0.
  • Substituindo t=0 em Q(t):
0 = \frac{2}{3}\,10^{-4}(200)^2 + \frac{C}{200}.
  • Calcule \frac{2}{3}\,10^{-4}(200)^2:
    • (200)^2=40000.
    • 40000\cdot 10^{-4}=40000/10000=4.
    • Multiplicando por 2/3 \dfrac{2}{3}\cdot 4 = \dfrac{8}{3}.
  • Assim
0 = \frac{8}{3} + \frac{C}{200} \quad\Rightarrow\quad C = -200\cdot \frac{8}{3} = -\frac{1600}{3}.
  • Logo a solução particular é
Q(t) = \frac{2}{3}\,10^{-4}(t+200)^2 - \frac{1600}{3(t+200)}.

Passo 8

Simplificar a expressão de Q(t) para uma forma mais limpa e verificar consistência.
  • Note que \dfrac{2}{3}\,10^{-4} = \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{10000} = \dfrac{2}{30000}=\dfrac{1}{15000}.
  • Então podemos escrever
Q(t)=\frac{(t+200)^2}{15000} - \frac{1600}{3(t+200)}.
  • Verificação rápida: em t=0 os dois termos se cancelam e Q(0)=0 (confirmado).

Passo 9

Calcular a concentração quando o tanque enche, ou seja em t^*=200 minutos.
  • Primeiro calcule Q(200). Como t+200=400 então
Q(200)=\frac{400^2}{15000} - \frac{1600}{3\cdot 400}.
  • Calcule cada termo:
    • \dfrac{400^2}{15000}=\dfrac{160000}{15000}=\dfrac{160}{15}=\dfrac{32}{3}.
    • \dfrac{1600}{3\cdot 400}=\dfrac{1600}{1200}=\dfrac{4}{3}.
  • Assim
Q(200)=\frac{32}{3}-\frac{4}{3}=\frac{28}{3}\\ \text{gramas}.
  • Volume no enchimento V(200)=400 L. A concentração desejada é \dfrac{Q(200)}{V(200)}:
\text{concentração} = \frac{\tfrac{28}{3}}{400} = \frac{28}{1200} = \frac{7}{300}\\ \text{gramas por litro}.çã
  • Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

\text{Equação diferencial:}\quad \frac{dQ}{dt}=2\cdot 10^{-4}(t+200)-\frac{Q}{200+t}çã
\text{Solução particular (com }Q(0)=0\text{):}\quad Q(t)=\frac{(t+200)^2}{15000}-\frac{1600}{3(t+200)}çã
\text{Concentração ao encher }(t=200):\quad \frac{7}{300}\\ \text{gramas por litro} \\ (\text{opção (a)})çãçã

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