Dois geradores em paralelo estão suprindo uma carga. O gerador 1 apresenta freqüência sem carga de 61,50 \mathrm{~Hz} e uma inclinação sp 1(slope) de 1 \mathrm{MW} / \mathrm{Hz}. Já o gerador 2 apresenta freqüência sem carga de 61,00 \mathrm{~Hz} e uma inclinação sp 2 de 1 \mathrm{MW} / \mathrm{Hz}. Os dois geradores alimentam uma carga ativa 2,5 \mathrm{MW} com fator de potência 0,80 atrasado. Pede-se:
a) Qual é a freqüência de operação deste sistema, e quanto de potência ativa cada gerador fornece?
b) Considere que houve um aumento de 1,0 \mathrm{MW} na carga. Qual será a nova freqüência do sistema, e quanto de potência ativa cada gerador fornecerá?
c) Considerando a mesma carga do item “b” (isto é, 3,5 \mathrm{MW} ), e considerando que a freqüência sem carga do gerador 2 aumentou em 0,5 \mathrm{~Hz}, qual será a nova freqüência do sistema, e quanto de potência ativa cada gerador fornecerá?

Passo 1

O enunciado pede três coisas (três situações): a frequência de operação do sistema e a potência ativa fornecida por cada gerador nas situações (a), (b) e (c). Vou listar claramente os dados numéricos que temos:
  • Gerador 1:
    • frequência sem carga \;f_{1,\text{nl}}=61{,}50\\ \text{Hz}.
    • inclinação (slope) \;s_1=1{,}0\\ \text{MW/Hz}.
  • Gerador 2:
    • frequência sem carga \;f_{2,\text{nl}}=61{,}00\\ \text{Hz} (no item (c) isto muda, veja enunciado).
    • inclinação (slope) \;s_2=1{,}0\\ \text{MW/Hz}.
  • Carga inicial: potência ativa \;P_{\text{carga}}=2{,}5\\ \text{MW} com fator de potência 0{,}80 atrasado.
  • No item (b) a carga aumenta em 1{,}0\\ \text{MW} (portanto P_{\text{carga}}=3{,}5\\ \text{MW}).
  • No item (c) mantemos P_{\text{carga}}=3{,}5\\ \text{MW} e a frequência sem carga do gerador 2 passa a ser \;f_{2,\text{nl}}=61{,}00+0{,}50=61{,}50\\ \text{Hz}.
As perguntas são:
(a) qual será a frequência de operação do sistema e quanto cada gerador fornece com P_{\text{carga}}=2{,}5\\ \text{MW};
(b) com P_{\text{carga}}=3{,}5\\ \text{MW}, qual a nova frequência e quanto cada gerador fornece;
(c) com P_{\text{carga}}=3{,}5\\ \text{MW} e f_{2,\text{nl}}=61{,}50\\ \text{Hz}, qual a frequência e quanto cada gerador fornece.

Passo 2

Explicar o modelo físico/matemático usado (controle por droop) e as variáveis:
  • Em regime paralelo com controle de droop (slope) para potência ativa, a potência ativa entregue por cada gerador varia linearmente com a diferença entre sua frequência sem carga e a frequência comum do barramento. Usaremos o modelo linear simples:
P_i = s_i\bigl(f_{i,\text{nl}} - f\bigr),
onde:
  • P_i é a potência ativa (em MW) entregue pelo gerador i;
  • s_i é a inclinação (slope) em \text{MW/Hz} do gerador i (diz quanto a potência muda por Hz de variação de frequência);
  • f_{i,\text{nl}} é a frequência sem carga do gerador i (em Hz);
  • f é a frequência comum de operação do sistema (em Hz).
Justificativa do sinal: se a frequência do barramento f fica abaixo da frequência sem carga f_{i,\text{nl}}, então (f_{i,\text{nl}}-f)>0 e o gerador fornece potência positiva; quanto menor f, maior a potência fornecida — isso é exatamente o comportamento do droop.
Condição de equilíbrio de potências ativas: a soma das potências fornecidas pelos geradores deve igualar a potência ativa da carga (ignoramos perdas):
\sum_i P_i = P_{\text{carga}}.
Observação sobre o fator de potência: o enunciado dá fator de potência 0{,}80 atrasado, que é informação sobre potência reativa. No modelo de droop para potência ativa usado aqui, a partilha de potência ativa depende apenas das inclinações e das frequências sem carga; portanto o fator de potência NÃO entra nos cálculos de potências ativas que pedem (a menos que fosse pedido algo sobre reativos).

Passo 3

Aplicar o modelo para os dois geradores com os dados do item (a). Escrevendo as duas equações:
P_1 = s_1\bigl(f_{1,\text{nl}} - f\bigr) = 1{,}0\bigl(61{,}50 - f\bigr),
P_2 = s_2\bigl(f_{2,\text{nl}} - f\bigr) = 1{,}0\bigl(61{,}00 - f\bigr).
Soma das potências igual à carga:
P_1+P_2 = 1{,}0\bigl(61{,}50 - f\bigr) + 1{,}0\bigl(61{,}00 - f\bigr) = P_{\text{carga}}.
Substituindo P_{\text{carga}}=2{,}5\\ \text{MW} e somando termos:
(61{,}50- f) + (61{,}00- f) = 2{,}5.
122{,}50 - 2f = 2{,}5.
Isolando f:
2f = 122{,}50 - 2{,}5 = 120{,}00,
f = \dfrac{120{,}00}{2} = 60{,}00\\ \text{Hz}.
Agora calcular P_1 e P_2 usando f=60{,}00\\ \text{Hz}:
P_1 = 1{,}0\bigl(61{,}50-60{,}00\bigr)=1{,}50\\ \text{MW},
P_2 = 1{,}0\bigl(61{,}00-60{,}00\bigr)=1{,}00\\ \text{MW}.
Verificação: P_1+P_2=1{,}50+1{,}00=2{,}50\\ \text{MW}, confere com a carga.

Passo 4

Agora a carga aumenta em 1{,}0\\ \text{MW}: P_{\text{carga}}=3{,}5\\ \text{MW}. Mantêm-se f_{1,\text{nl}}=61{,}50, f_{2,\text{nl}}=61{,}00 e s_1=s_2=1{,}0\\ \text{MW/Hz}. Repetimos o procedimento:
(61{,}50- f) + (61{,}00- f) = 3{,}5.
122{,}50 - 2f = 3{,}5.
2f = 122{,}50 - 3{,}5 = 119{,}00,
f = \dfrac{119{,}00}{2} = 59{,}50\\ \text{Hz}.
Cálculo das potências:
P_1 = 1{,}0\bigl(61{,}50-59{,}50\bigr)=2{,}00\\ \text{MW},
P_2 = 1{,}0\bigl(61{,}00-59{,}50\bigr)=1{,}50\\ \text{MW}.
Verificação: 2{,}00+1{,}50=3{,}50\\ \text{MW}.

Passo 5

Agora mantemos P_{\text{carga}}=3{,}5\\ \text{MW}, mas a frequência sem carga do gerador 2 aumenta 0{,}5\\ \text{Hz}, ou seja
f_{2,\text{nl}}=61{,}00+0{,}50=61{,}50\\ \text{Hz}.
Portanto:
P_1 = 1{,}0\bigl(61{,}50- f\bigr),
P_2 = 1{,}0\bigl(61{,}50- f\bigr).
Soma:
(61{,}50- f) + (61{,}50- f) = 3{,}5.
123{,}00 - 2f = 3{,}5.
2f = 123{,}00 - 3{,}5 = 119{,}50,
f = \dfrac{119{,}50}{2} = 59{,}75\\ \text{Hz}.
Potências:
P_1 = 1{,}0\bigl(61{,}50-59{,}75\bigr)=1{,}75\\ \text{MW},
P_2 = 1{,}0\bigl(61{,}50-59{,}75\bigr)=1{,}75\\ \text{MW}.
Verificação: 1{,}75+1{,}75=3{,}50\\ \text{MW}.

Resposta

(a) f=60{,}00\\ \text{Hz}; P_1=1{,}50\\ \text{MW}; P_2=1{,}00\\ \text{MW}.
(b) f=59{,}50\\ \text{Hz}; P_1=2{,}00\\ \text{MW}; P_2=1{,}50\\ \text{MW}.
(c) f=59{,}75\\ \text{Hz}; P_1=1{,}75\\ \text{MW}; P_2=1{,}75\\ \text{MW}.

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