Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz: “Se
, então
.”
O que nos foi dado: é definido igual a
. Aqui
é o número de Euler (constante) e o expoente
também é constante — ou seja,
é uma função constante (não depende de nenhuma variável
). A pergunta implícita é sobre a derivada de
em relação à variável independente usual (supondo
): qual é
?
O que nos foi dado:
Passo 2
Lembra da definição/idea básica de derivada? A derivada mede a taxa de variação da função em relação a
. Se a função não varia quando
muda (isto é, é constante), a taxa de variação é zero. Em termos formais, se
é uma constante então
Prova rápida pela definição de limite:
Intuitivamente: o gráfico de
é uma reta horizontal, cuja inclinação (derivada) é
.
Passo 3
Aplicando isso ao caso
: como
é apenas um número (aprox.
),
é uma constante. Logo
Também se pode ver pelo limite:
Passo 4
Explico o erro comum — por que alguém poderia pensar
. Isso vem de confundir várias expressões parecidas:
- Se
, então . - Se
, pela regra da cadeia . Note que aqui o expoente é , que depende de . - Se alguém lê
e pensa em aplicar a regra como se fosse com , isso é um erro: derivada é operação em função, não em números.
Para comparar numericamente:e ; claramente a derivada de uma constante não pode ser um número diferente de zero.
Passo 5
Conclusão prática que leva para a prova: ao ver algo do tipo
(alguma expressão que não envolve a variável de diferenciação), já podes responder rápido que a derivada é zero. Se a expressão envolve
dentro do expoente (como
ou
), aí sim uses a regra da derivada da exponencial e, quando necessário, a regra da cadeia.
Resposta
Falsa.
.