Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se y=e^{2}, então y^{\prime}=2 e.

Passo 1

O enunciado diz: “Se y=e^{2}, então y'=2e.”
O que nos foi dado: y é definido igual a e^{2}. Aqui e é o número de Euler (constante) e o expoente 2 também é constante — ou seja, y é uma função constante (não depende de nenhuma variável x). A pergunta implícita é sobre a derivada de y em relação à variável independente usual (supondo x): qual é y'=\dfrac{dy}{dx}?

Passo 2

Lembra da definição/idea básica de derivada? A derivada mede a taxa de variação da função em relação a x. Se a função não varia quando x muda (isto é, é constante), a taxa de variação é zero. Em termos formais, se c é uma constante então
\frac{d}{dx}c=0.
Prova rápida pela definição de limite:
\frac{d}{dx}c=\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=\lim_{h\to0}0=0.
Intuitivamente: o gráfico de y=c é uma reta horizontal, cuja inclinação (derivada) é 0.

Passo 3

Aplicando isso ao caso y=e^{2}: como e^{2} é apenas um número (aprox. 7{,}389\ldots), y é uma constante. Logo
y'=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2}\bigr)=0.
Também se pode ver pelo limite:
y'=\lim_{h\to0}\frac{e^{2}-e^{2}}{h}=0.

Passo 4

Explico o erro comum — por que alguém poderia pensar y'=2e. Isso vem de confundir várias expressões parecidas:
  • Se y=e^{x}, então \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Se y=e^{2x}, pela regra da cadeia \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}. Note que aqui o expoente é 2x, que depende de x.
  • Se alguém lê e^{2} e pensa em aplicar a regra como se fosse e^{x} com x=2, isso é um erro: derivada é operação em função, não em números.
    Para comparar numericamente: e^{2}\approx7{,}389 e 2e\approx5{,}436; claramente a derivada de uma constante não pode ser um número diferente de zero.

Passo 5

Conclusão prática que leva para a prova: ao ver algo do tipo y= (alguma expressão que não envolve a variável de diferenciação), já podes responder rápido que a derivada é zero. Se a expressão envolve x dentro do expoente (como e^{x} ou e^{2x}), aí sim uses a regra da derivada da exponencial e, quando necessário, a regra da cadeia.

Resposta

Falsa. y'=0.

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