Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores uev em
.
Para quaisquer vetores uev em
Passo 1
O enunciado dá a afirmação: "Para quaisquer vetores
e
em
,
".
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar por que é falsa ou dar um exemplo que a contradiga. As únicas informações são que e
são vetores em
(vetores tridimensionais).
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar por que é falsa ou dar um exemplo que a contradiga. As únicas informações são que
Passo 2
O que é o produto vetorial (cross product)? Vou explicar de forma bem direta e prática. Para vetores em
(ou
) o produto vetorial
é um vetor que satisfaz duas características importantes:
- É perpendicular (ortogonal) a
e a . - Tem magnitude igual à área do paralelogramo gerado por
e ; em termos de norma, , onde é o ângulo entre e .
A direção do vetoré dada pela regra da mão direita (right-hand rule). Essas propriedades já sugerem que trocar a ordem dos vetores muda a direção do resultado (por isso devemos investigar a mudança de sinal).
Passo 3
Agora mostro a fórmula componente a componente — isso é prático para cálculo e para ver a propriedade ao trocar a ordem. Seja
A definição componente do produto vetorial é
Trocar a ordem e calcular
dá
Agora compare componente a componente. Observe, por exemplo,
Fazendo isso para cada componente vê-se que cada uma de
é o negativo da correspondente em
. Portanto vale a igualdade algébrica
Essa propriedade tem nome: o produto vetorial é anticomutativo (às vezes chamado de antissimétrico).
Passo 4
A partir da propriedade anterior concluímos logicamente que, em geral,
não é igual a
. Se a afirmação do enunciado fosse verdadeira para quaisquer vetores, então teríamos sempre
Somando os dois lados com
obtém-se
Ou seja, a igualdade só pode ocorrer quando
. Isso significa que a igualdade só vale em casos especiais (quando os vetores são paralelos ou um dos vetores é o vetor nulo), não para quaisquer vetores arbitrários. Portanto a afirmação geral é falsa.
Passo 5
Agora dou um contraexemplo explícito (útil para a prova): tome
Calculando pelo fórmula em componentes:
Como
, isso mostra que a igualdade
falha para esses vetores — logo a afirmação do enunciado é falsa.
Passo 6
Complemento pedagógico (para a prova): quando a igualdade acontece? A igualdade
ocorre exatamente quando
. Isso acontece se e somente se
e
são linearmente dependentes, i.e., são paralelos (ou um é o vetor nulo). Exemplo em que a igualdade vale:
,
têm
.
Resposta
Falsa.