Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores uev em V_{3}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}=\mathbf{v} \times \mathbf{u}.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação: "Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3}, \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{v}\times\mathbf{u}".
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar por que é falsa ou dar um exemplo que a contradiga. As únicas informações são que \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores em V_{3} (vetores tridimensionais).

Passo 2

O que é o produto vetorial (cross product)? Vou explicar de forma bem direta e prática. Para vetores em \mathbb{R}^{3} (ou V_3) o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} é um vetor que satisfaz duas características importantes:
  • É perpendicular (ortogonal) a \mathbf{u} e a \mathbf{v}.
  • Tem magnitude igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}; em termos de norma, \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
    A direção do vetor \mathbf{u}\times\mathbf{v} é dada pela regra da mão direita (right-hand rule). Essas propriedades já sugerem que trocar a ordem dos vetores muda a direção do resultado (por isso devemos investigar a mudança de sinal).

Passo 3

Agora mostro a fórmula componente a componente — isso é prático para cálculo e para ver a propriedade ao trocar a ordem. Seja
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3).
A definição componente do produto vetorial é
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr).
Trocar a ordem e calcular \mathbf{v}\times\mathbf{u}
\mathbf{v}\times\mathbf{u}=\bigl(v_2 u_3 - v_3 u_2,\; v_3 u_1 - v_1 u_3,\; v_1 u_2 - v_2 u_1\bigr).
Agora compare componente a componente. Observe, por exemplo,
v_2 u_3 - v_3 u_2 = -(u_2 v_3 - u_3 v_2).
Fazendo isso para cada componente vê-se que cada uma de \mathbf{v}\times\mathbf{u} é o negativo da correspondente em \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Portanto vale a igualdade algébrica
\mathbf{v}\times\mathbf{u} = -\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr).
Essa propriedade tem nome: o produto vetorial é anticomutativo (às vezes chamado de antissimétrico).

Passo 4

A partir da propriedade anterior concluímos logicamente que, em geral, \mathbf{u}\times\mathbf{v} não é igual a \mathbf{v}\times\mathbf{u}. Se a afirmação do enunciado fosse verdadeira para quaisquer vetores, então teríamos sempre
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{v}\times\mathbf{u}=-\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr).
Somando os dois lados com \mathbf{u}\times\mathbf{v} obtém-se
2\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr)=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Ou seja, a igualdade só pode ocorrer quando \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}. Isso significa que a igualdade só vale em casos especiais (quando os vetores são paralelos ou um dos vetores é o vetor nulo), não para quaisquer vetores arbitrários. Portanto a afirmação geral é falsa.

Passo 5

Agora dou um contraexemplo explícito (útil para a prova): tome
\mathbf{u}=(1,0,0),\qquad \mathbf{v}=(0,1,0).
Calculando pelo fórmula em componentes:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(0,0,1), \qquad \mathbf{v}\times\mathbf{u}=(0,0,-1).
Como (0,0,1)\neq(0,0,-1), isso mostra que a igualdade \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{v}\times\mathbf{u} falha para esses vetores — logo a afirmação do enunciado é falsa.

Passo 6

Complemento pedagógico (para a prova): quando a igualdade acontece? A igualdade \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{v}\times\mathbf{u} ocorre exatamente quando \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}. Isso acontece se e somente se \mathbf{u} e \mathbf{v} são linearmente dependentes, i.e., são paralelos (ou um é o vetor nulo). Exemplo em que a igualdade vale: \mathbf{u}=(1,0,0), \mathbf{v}=(2,0,0) têm \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}=\mathbf{v}\times\mathbf{u}.

Resposta

Falsa.

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