Suponha que
. Determine
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede para determinar o valor de
Informações relevantes fornecidas:
- Há três vetores
(presumivelmente em ). - O produto escalar triplo
vale . - A incógnita é o escalar
.
Passo 2
Lembrete importante sobre o produto vetorial (cross product): para quaisquer vetores
e
vale que
é um vetor perpendicular tanto a
quanto a
. Em particular,
é perpendicular a
.
Agora, recorde a propriedade do produto escalar: se dois vetores são perpendiculares, então o produto escalar entre eles é zero. Ou seja, se
então
Aplicando isso ao nosso caso, como
, segue que
Passo 3
Para solidificar (outro caminho, puramente algébrico): existe a identidade do produto misto (produto escalar triplo)
para quaisquer vetores
. Tomando
,
,
obtemos
Mas
(o produto vetorial de um vetor por si mesmo é o vetor nulo, pois o ângulo é
e
). Logo
Esse raciocínio confirma o resultado do passo anterior. Observe que o valor dado
não influencia este cálculo: a expressão pedida depende apenas da ortogonalidade inerente ao produto vetorial.