Suponha que \mathbf{u} \cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{w})=2. Determine
(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=2
e pede para determinar o valor de
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{v}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} (presumivelmente em \mathbb{R}^3).
  • O produto escalar triplo \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) vale 2.
  • A incógnita é o escalar (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{v}.

Passo 2

Lembrete importante sobre o produto vetorial (cross product): para quaisquer vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} vale que \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{a} quanto a \mathbf{b}. Em particular, \mathbf{u}\times\mathbf{v} é perpendicular a \mathbf{v}.
Agora, recorde a propriedade do produto escalar: se dois vetores são perpendiculares, então o produto escalar entre eles é zero. Ou seja, se \mathbf{x}\perp\mathbf{y} então
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=0.
Aplicando isso ao nosso caso, como \mathbf{u}\times\mathbf{v}\perp\mathbf{v}, segue que
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{v}=0.

Passo 3

Para solidificar (outro caminho, puramente algébrico): existe a identidade do produto misto (produto escalar triplo)
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})
para quaisquer vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}. Tomando \mathbf{a}=\mathbf{u}, \mathbf{b}=\mathbf{v}, \mathbf{c}=\mathbf{v} obtemos
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{v}=\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{v}).
Mas \mathbf{v}\times\mathbf{v}=\mathbf{0} (o produto vetorial de um vetor por si mesmo é o vetor nulo, pois o ângulo é 0 e \sin 0=0). Logo
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{v})=\mathbf{u}\cdot\mathbf{0}=0.
Esse raciocínio confirma o resultado do passo anterior. Observe que o valor dado \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=2 não influencia este cálculo: a expressão pedida depende apenas da ortogonalidade inerente ao produto vetorial.

Resposta

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