Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3},|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|=|\mathbf{v} \times \mathbf{u}|.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, para quaisquer vetores em V_{3}:
|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{v}\times\mathbf{u}|.
Informações dadas:
  • Dois vetores quaisquer \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3} (ou seja, vetores em \mathbb{R}^{3}).
  • A igualdade envolve as normas (módulos) dos vetores produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} e \mathbf{v}\times\mathbf{u}.

Passo 2

Apresentar e explicar uma propriedade fundamental do produto vetorial que será útil: o produto vetorial é anticomutativo. Isso significa que, para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v},
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = -(\mathbf{v}\times\mathbf{u}).
Por que isso vale? Uma forma clara de ver é usar a definição via determinante com as componentes \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3):
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \qquad \mathbf{v}\times\mathbf{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ v_1 & v_2 & v_3 \\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}.
Trocar a segunda e a terceira linha de um determinante muda o sinal do determinante; portanto
\mathbf{v}\times\mathbf{u} = -\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = -(\mathbf{u}\times\mathbf{v}).
Resumo da ideia: trocar a ordem no produto vetorial introduz um sinal negativo.

Passo 3

Explicar uma propriedade simples das normas (módulos) de vetores que será usada: o módulo de um vetor não muda se multiplicarmos o vetor por -1. Mais precisamente, para qualquer vetor \mathbf{w},
|-\mathbf{w}|^2 = (-\mathbf{w})\cdot(-\mathbf{w}) = \mathbf{w}\cdot\mathbf{w} = |\mathbf{w}|^2,
logo
|-\mathbf{w}| = |\mathbf{w}|.
A explicação rápida: o produto escalar de -\mathbf{w} por ele mesmo elimina o sinal negativo em ambos os fatores, ficando igual ao produto escalar de \mathbf{w} por si mesmo.

Passo 4

Combinar as duas propriedades anteriores. Da anticomutatividade temos
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = -(\mathbf{v}\times\mathbf{u}).
Tomando normas em ambos os lados e usando que |-\mathbf{w}| = |\mathbf{w}|, obtemos
|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |-(\mathbf{v}\times\mathbf{u})| = |\mathbf{v}\times\mathbf{u}|.
Essa é exatamente a igualdade do enunciado.

Passo 5

Dar outra visão — interpretação geométrica e fórmula útil. A magnitude do produto vetorial pode ser escrita como
|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} com 0\le\theta\le\pi. Essa expressão é simétrica em \mathbf{u} e \mathbf{v} (trocar \mathbf{u} e \mathbf{v} não altera o produto |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\sin\theta), o que também explica por que as duas normas são iguais: ambas medem a área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a intuição. Tome
\mathbf{u}=(1,0,0),\qquad \mathbf{v}=(0,1,0).
Calcula-se
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(0,0,1),\qquad |\mathbf{u}\times\mathbf{v}|=1,
e
\mathbf{v}\times\mathbf{u}=(0,0,-1),\qquad |\mathbf{v}\times\mathbf{u}|=1.
Os módulos coincidem, mostrando na prática o que provamos simbolicamente.

Resposta

Verdadeira.

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