Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3},|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|=|\mathbf{v} \times \mathbf{u}|.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, para quaisquer vetores em V_{3}:
Dois vetores quaisquer \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3} (ou seja, vetores em \mathbb{R}^{3}).
A igualdade envolve as normas (módulos) dos vetores produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} e \mathbf{v}\times\mathbf{u}.
Passo 2
Apresentar e explicar uma propriedade fundamental do produto vetorial que será útil: o produto vetorial é anticomutativo. Isso significa que, para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v},
Resumo da ideia: trocar a ordem no produto vetorial introduz um sinal negativo.
Passo 3
Explicar uma propriedade simples das normas (módulos) de vetores que será usada: o módulo de um vetor não muda se multiplicarmos o vetor por -1. Mais precisamente, para qualquer vetor \mathbf{w},
A explicação rápida: o produto escalar de -\mathbf{w} por ele mesmo elimina o sinal negativo em ambos os fatores, ficando igual ao produto escalar de \mathbf{w} por si mesmo.
Passo 4
Combinar as duas propriedades anteriores. Da anticomutatividade temos
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} com 0\le\theta\le\pi. Essa expressão é simétrica em \mathbf{u} e \mathbf{v} (trocar \mathbf{u} e \mathbf{v} não altera o produto |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\sin\theta), o que também explica por que as duas normas são iguais: ambas medem a área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.