Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores
e
em
e qualquer escalar
,
.
Para quaisquer vetores
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Também pede justificativa (explicação) ou um contraexemplo, dependendo do caso.\n
Afirmação a analisar: para quaisquer vetores
e
em
e qualquer escalar
.\n
Informações dadas (o que temos explicitamente no enunciado):\n
Afirmação a analisar:
Informações dadas (o que temos explicitamente no enunciado):\n
- Dois vetores arbitrários
e em .\n - Um escalar arbitrário
.\n - A operação
é o produto escalar (dot product) entre vetores em (pressupõe-se a definição padrão do produto escalar).\n
O que o enunciado pede: decidir verdadeiro/falso e justificar (mostrar por que é verdadeiro, ou fornecer um contraexemplo se for falso).
Passo 2
Primeiro, vou recordar de forma clara o que é o produto escalar em
(no sentido usual, isto é, em
).\n
Definição prática: Se e
, então o produto escalar
é definido por
Definição prática: Se
Aqui cada
e
é um número real (pressuposição: o espaço é sobre
).\n
Propriedade importante (que vamos usar): o produto escalar é linear em cada argumento, isto é, para escalares e vetores
vale
Propriedade importante (que vamos usar): o produto escalar é linear em cada argumento, isto é, para escalares
Essa propriedade é consequência direta da definição componente a componente (vamos mostrar isso no próximo passo).
Passo 3
Prova direta componente a componente (passo a passo, sem pular etapas):\n
Escreve e
. Então, segundo a definição,
Escreve
Multiplicando esse número pelo escalar
obtemos
Usa-se agora a distributividade da multiplicação real sobre soma (propriedade dos números reais) para passar
para dentro da soma:
Por outro lado, o vetor
tem componentes
. Portanto
Mas em
a multiplicação é comutativa, logo
. Assim
Comparando com a expressão que obtivemos para
, vemos que os dois lados são iguais componente a componente. Portanto
Passo 4
Interpretação e uso prático para prova/exame (como aplicar essa ideia rapidamente):\n
- Em provas, ao ver uma igualdade envolvendo escalar puxado para fora/do produto escalar, basta lembrar que o produto escalar é linear em cada argumento.\n
- Uma forma curta de justificar em prova: “Pela linearidade do produto escalar em cada argumento,
.” Se precisar, dar duas linhas mostrando componentes como fiz acima é suficiente.\n - Observação prática: o raciocínio usa apenas regras elementares (definição do produto escalar por componentes, distributividade e comutatividade dos reais), então é uma conta curtinha para escrever numa prova.
Passo 5
Um exemplo numérico para deixar isso mais concreto (serve também como checagem rápida na hora da prova):\n
Escolhe ,
e
.\n
Calcula primeiro . Então
Escolhe
Calcula primeiro
Agora calcula
. Tem
. Logo
Os dois resultados coincidem, confirmando a igualdade no exemplo.
Passo 6
Pequena observação extra (atenção com espaços escalares diferentes):\n
- No contexto usual de
(espaço vetorial real com produto escalar padrão), a afirmação é verdadeira como provado.\n - Se por acaso estivermos em um espaço vetorial complexo com um produto interno que é sesquilinear (o produto interno em
costuma envolver conjugação em um dos argumentos), a regra de “fatorar o escalar” pode envolver conjugação dependendo de qual convenção é usada (linearidade em um argumento e conjugado linearidade no outro). Como o enunciado fala de sem especificar campo, e a notação padrão em cursos de exatas é , a resposta anterior é a que interessa aqui.
Resposta
Verdadeira.