Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3} e qualquer escalar k, k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})=(k \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Também pede justificativa (explicação) ou um contraexemplo, dependendo do caso.\n
Afirmação a analisar: k(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=(k\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3} e qualquer escalar k.\n
Informações dadas (o que temos explicitamente no enunciado):\n
  • Dois vetores arbitrários \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3}.\n
  • Um escalar arbitrário k.\n
  • A operação \cdot é o produto escalar (dot product) entre vetores em V_{3} (pressupõe-se a definição padrão do produto escalar).\n
    O que o enunciado pede: decidir verdadeiro/falso e justificar (mostrar por que é verdadeiro, ou fornecer um contraexemplo se for falso).

Passo 2

Primeiro, vou recordar de forma clara o que é o produto escalar em \,V_{3} (no sentido usual, isto é, em \mathbb{R}^{3}).\n
Definição prática: Se \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}), então o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é definido por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
Aqui cada u_{i} e v_{i} é um número real (pressuposição: o espaço é sobre \mathbb{R}).\n
Propriedade importante (que vamos usar): o produto escalar é linear em cada argumento, isto é, para escalares a,b e vetores \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} vale
(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})\cdot\mathbf{z}=a(\mathbf{x}\cdot\mathbf{z})+b(\mathbf{y}\cdot\mathbf{z}).
Essa propriedade é consequência direta da definição componente a componente (vamos mostrar isso no próximo passo).

Passo 3

Prova direta componente a componente (passo a passo, sem pular etapas):\n
Escreve \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}). Então, segundo a definição,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
Multiplicando esse número pelo escalar k obtemos
k(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=k\bigl(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}\bigr).
Usa-se agora a distributividade da multiplicação real sobre soma (propriedade dos números reais) para passar k para dentro da soma:
k(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=k u_{1}v_{1}+k u_{2}v_{2}+k u_{3}v_{3}.
Por outro lado, o vetor k\mathbf{u} tem componentes (k u_{1},k u_{2},k u_{3}). Portanto
(k\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=(k u_{1})v_{1}+(k u_{2})v_{2}+(k u_{3})v_{3}.
Mas em \mathbb{R} a multiplicação é comutativa, logo (k u_{i})v_{i}=k(u_{i}v_{i}). Assim
(k\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=k u_{1}v_{1}+k u_{2}v_{2}+k u_{3}v_{3}.
Comparando com a expressão que obtivemos para k(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}), vemos que os dois lados são iguais componente a componente. Portanto
k(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=(k\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}.

Passo 4

Interpretação e uso prático para prova/exame (como aplicar essa ideia rapidamente):\n
  • Em provas, ao ver uma igualdade envolvendo escalar puxado para fora/do produto escalar, basta lembrar que o produto escalar é linear em cada argumento.\n
  • Uma forma curta de justificar em prova: “Pela linearidade do produto escalar em cada argumento, (k\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=k(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).” Se precisar, dar duas linhas mostrando componentes como fiz acima é suficiente.\n
  • Observação prática: o raciocínio usa apenas regras elementares (definição do produto escalar por componentes, distributividade e comutatividade dos reais), então é uma conta curtinha para escrever numa prova.

Passo 5

Um exemplo numérico para deixar isso mais concreto (serve também como checagem rápida na hora da prova):\n
Escolhe \mathbf{u}=(1,2,-3), \mathbf{v}=(4,0,5) e k=2.\n
Calcula primeiro \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot4+2\cdot0+(-3)\cdot5=4+0-15=-11. Então
k(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=2\cdot(-11)=-22.
Agora calcula (k\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}. Tem k\mathbf{u}=(2,4,-6). Logo
(k\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=2\cdot4+4\cdot0+(-6)\cdot5=8+0-30=-22.
Os dois resultados coincidem, confirmando a igualdade no exemplo.

Passo 6

Pequena observação extra (atenção com espaços escalares diferentes):\n
  • No contexto usual de V_{3}=\mathbb{R}^{3} (espaço vetorial real com produto escalar padrão), a afirmação é verdadeira como provado.\n
  • Se por acaso estivermos em um espaço vetorial complexo com um produto interno que é sesquilinear (o produto interno em \mathbb{C}^{n} costuma envolver conjugação em um dos argumentos), a regra de “fatorar o escalar” pode envolver conjugação dependendo de qual convenção é usada (linearidade em um argumento e conjugado linearidade no outro). Como o enunciado fala de V_{3} sem especificar campo, e a notação padrão em cursos de exatas é \mathbb{R}^{3}, a resposta anterior é a que interessa aqui.

Resposta

Verdadeira.

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