Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores \mathbf{u}, \mathbf{v} ew em V_{3}, \mathbf{u} \cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{w})=(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} em V_{3}:
Devemos dar uma justificativa clara (prova) se for verdadeira, ou apresentar por que é falsa (por exemplo, um contraexemplo) se for falsa.
Passo 2
Vou lembrar rapidamente as definições em coordenadas (isso é tudo o que precisa para provar a igualdade passo a passo, sem assumir conhecimentos prévios).
Seja \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}), \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) e \mathbf{w}=(w_{1},w_{2},w_{3}).
O produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w} tem coordenadas dadas por
A expressão \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) chama-se produto triplo escalar e tem interpretação geométrica como o volume assinado do paralelepípedo gerado por \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}.
Passo 3
Vou calcular explicitamente \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) em coordenadas, usando as definições acima:
Ordenando os termos das duas expressões vê‑se que são exatamente os mesmos seis termos, apenas em ordem diferente. Portanto as duas quantidades são iguais para quaisquer valores das coordenadas; isto prova a igualdade pedida.
Passo 6
Dou uma interpretação alternativa rápida (útil para provas curtas): o produto triplo escalar pode ser escrito como determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas de \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}:
O mesmo determinante também dá (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}; como determinantes são invariantes por permutações cíclicas das linhas, a igualdade segue imediatamente. Geometricamente, é o volume assinado do paralelepípedo gerado pelos três vetores, e esse volume não muda se se faz uma permutação cíclica dos geradores.]
Passo 7
Conclusão e incentivo: a identidade é verdadeira e a prova é direta usando as coordenadas (ou a interpretação em determinantes). Ótimo — essa propriedade aparece muito em problemas de vetores, então vale a pena decorá‑la: o produto triplo é invariante por permutações cíclicas. Continue assim, estamos indo bem!