Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Para quaisquer vetores \mathbf{u}, \mathbf{v} ew em V_{3},
\mathbf{u} \cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{w})=(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} em V_{3}:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}.
Devemos dar uma justificativa clara (prova) se for verdadeira, ou apresentar por que é falsa (por exemplo, um contraexemplo) se for falsa.

Passo 2

Vou lembrar rapidamente as definições em coordenadas (isso é tudo o que precisa para provar a igualdade passo a passo, sem assumir conhecimentos prévios).
  • Seja \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}), \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) e \mathbf{w}=(w_{1},w_{2},w_{3}).
  • O produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w} tem coordenadas dadas por
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\bigl(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2},\;v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3},\;v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}\bigr).
  • O produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é a soma dos produtos coordenada a coordenada:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
A expressão \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) chama-se produto triplo escalar e tem interpretação geométrica como o volume assinado do paralelepípedo gerado por \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}.

Passo 3

Vou calcular explicitamente \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) em coordenadas, usando as definições acima:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = u_{1}\bigl(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2}\bigr) + u_{2}\bigl(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3}\bigr) + u_{3}\bigl(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}\bigr).
Expandindo os produtos, obtemos seis termos:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = u_{1}v_{2}w_{3} - u_{1}v_{3}w_{2} + u_{2}v_{3}w_{1} - u_{2}v_{1}w_{3} + u_{3}v_{1}w_{2} - u_{3}v_{2}w_{1}.

Passo 4

Agora calculo (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}. Primeiro as coordenadas de \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\bigl(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\;u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\;u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\bigr).
Fazendo o produto escalar com \mathbf{w} obtemos
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} = w_{1}\bigl(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\bigr) + w_{2}\bigl(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\bigr) + w_{3}\bigl(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\bigr).
Expandindo:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} = u_{2}v_{3}w_{1} - u_{3}v_{2}w_{1} + u_{3}v_{1}w_{2} - u_{1}v_{3}w_{2} + u_{1}v_{2}w_{3} - u_{2}v_{1}w_{3}.

Passo 5

Compare agora os dois resultados termo a termo. A expansão de \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) foi
u_{1}v_{2}w_{3} - u_{1}v_{3}w_{2} + u_{2}v_{3}w_{1} - u_{2}v_{1}w_{3} + u_{3}v_{1}w_{2} - u_{3}v_{2}w_{1},
e a de (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} foi
u_{2}v_{3}w_{1} - u_{3}v_{2}w_{1} + u_{3}v_{1}w_{2} - u_{1}v_{3}w_{2} + u_{1}v_{2}w_{3} - u_{2}v_{1}w_{3}.
Ordenando os termos das duas expressões vê‑se que são exatamente os mesmos seis termos, apenas em ordem diferente. Portanto as duas quantidades são iguais para quaisquer valores das coordenadas; isto prova a igualdade pedida.

Passo 6

Dou uma interpretação alternativa rápida (útil para provas curtas): o produto triplo escalar pode ser escrito como determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas de \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=\det\begin{pmatrix} u_{1} & u_{2} & u_{3}\\[2pt] v_{1} & v_{2} & v_{3}\\[2pt] w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{pmatrix}.
O mesmo determinante também dá (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}; como determinantes são invariantes por permutações cíclicas das linhas, a igualdade segue imediatamente. Geometricamente, é o volume assinado do paralelepípedo gerado pelos três vetores, e esse volume não muda se se faz uma permutação cíclica dos geradores.]

Passo 7

Conclusão e incentivo: a identidade é verdadeira e a prova é direta usando as coordenadas (ou a interpretação em determinantes). Ótimo — essa propriedade aparece muito em problemas de vetores, então vale a pena decorá‑la: o produto triplo é invariante por permutações cíclicas. Continue assim, estamos indo bem!

Resposta

Verdadeiro

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