Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
O conjunto de pontos \left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\} é uma circunferência.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=1\} em \mathbb{R}^{3} e pergunta se esse conjunto é uma circunferência (isto é, se é um círculo).
Informações fornecidas:
  • A condição é \,x^{2}+y^{2}=1, sem nenhuma restrição sobre z.
  • A pergunta é decidir se a afirmação “esse conjunto é uma circunferência” é verdadeira ou falsa.

Passo 2

O que entendemos por “circunferência” (círculo) em \mathbb{R}^{3}? Uma definição prática e usual:
  • Uma circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma distância fixa r de um ponto C (o centro) e que pertencem a um mesmo plano. Em símbolos, uma circunferência é um conjunto da forma
\{p\in\mathbb{R}^{3}\mid p\text{ pertence a um plano }P\text{ e } \|p-C\|=r\}.
Propriedades úteis dessa definição:
  • Toda circunferência está contida em algum plano.
  • Toda circunferência é limitada (bounded): todos os seus pontos estão a distância \le r do centro, logo o conjunto é contido numa bola de raio r.

Passo 3

Vamos descrever explicitamente o conjunto dado. A condição \,x^{2}+y^{2}=1 significa que a projeção de qualquer ponto do conjunto no plano xy está sobre a circunferência unitária no plano xy. Podemos parametrizar os pontos assim:
(x,y,z)=(\cos t,\sin t,z), \qquad t\in[0,2\pi),\; z\in\mathbb{R}.
Ou seja, para cada valor de z fixo obtemos uma circunferência no plano z=\text{constante}; variando z livremente obtemos a união de todas essas circunferências — isso é exatamente um cilindro circular vertical de raio 1. Em termos de produto topológico, o conjunto é homeomorfo a S^{1}\times\mathbb{R}.

Passo 4

A partir da parametrização dá para ver uma razão simples pela qual a afirmação é falsa: o conjunto permite qualquer valor de z. Por exemplo, os pontos
(1,0,0)\quad\text{e}\quad(1,0,1)
satisfazem ambos \,x^{2}+y^{2}=1, logo ambos pertencem ao conjunto, mas têm coordenadas z diferentes. Além disso, a sequência
(1,0,n),\quad n=1,2,3,\dots
está inteiramente no conjunto e não é contida em nenhuma bola de raio finito (pois a coordenada z diverge). Logo o conjunto não é limitado (unbounded).

Passo 5

Como observado no Passo 2, toda circunferência é limitada (está dentro de uma bola de raio r). O conjunto dado não é limitado porque z pode crescer sem limite. Portanto o conjunto não pode ser uma circunferência. Outra maneira equivalente de ver isso: uma circunferência está contida num plano; o conjunto dado não está contido em nenhum plano (ele ocupa infinitos planos paralelos z= constante), então também não pode ser uma única circunferência.

Resposta

Falsa.

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