Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
O conjunto de pontos
é uma circunferência.
O conjunto de pontos
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
em
e pergunta se esse conjunto é uma circunferência (isto é, se é um círculo).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A condição é
, sem nenhuma restrição sobre . - A pergunta é decidir se a afirmação “esse conjunto é uma circunferência” é verdadeira ou falsa.
Passo 2
O que entendemos por “circunferência” (círculo) em
? Uma definição prática e usual:
- Uma circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma distância fixa
de um ponto (o centro) e que pertencem a um mesmo plano. Em símbolos, uma circunferência é um conjunto da forma
Propriedades úteis dessa definição:
- Toda circunferência está contida em algum plano.
- Toda circunferência é limitada (bounded): todos os seus pontos estão a distância
do centro, logo o conjunto é contido numa bola de raio .
Passo 3
Vamos descrever explicitamente o conjunto dado. A condição
significa que a projeção de qualquer ponto do conjunto no plano
está sobre a circunferência unitária no plano
. Podemos parametrizar os pontos assim:
Ou seja, para cada valor de
fixo obtemos uma circunferência no plano
; variando
livremente obtemos a união de todas essas circunferências — isso é exatamente um cilindro circular vertical de raio
. Em termos de produto topológico, o conjunto é homeomorfo a
.
Passo 4
A partir da parametrização dá para ver uma razão simples pela qual a afirmação é falsa: o conjunto permite qualquer valor de
. Por exemplo, os pontos
satisfazem ambos
, logo ambos pertencem ao conjunto, mas têm coordenadas
diferentes. Além disso, a sequência
está inteiramente no conjunto e não é contida em nenhuma bola de raio finito (pois a coordenada
diverge). Logo o conjunto não é limitado (unbounded).
Passo 5
Como observado no Passo 2, toda circunferência é limitada (está dentro de uma bola de raio
). O conjunto dado não é limitado porque
pode crescer sem limite. Portanto o conjunto não pode ser uma circunferência. Outra maneira equivalente de ver isso: uma circunferência está contida num plano; o conjunto dado não está contido em nenhum plano (ele ocupa infinitos planos paralelos
constante), então também não pode ser uma única circunferência.
Resposta
Falsa.