Calcule:
\iint_{\mathcal{R}}\left(x^{3}-3 x y^{2}\right) d x d y, onde \mathcal{R} é a faixa circular entre os círculos de raio 1 e 3

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{\mathcal{R}}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr)\,dx\,dy
onde \mathcal{R} é a faixa circular entre os círculos de raio 1 e 3. Como a região é anelar, vamos usar coordenadas polares e explorar a identidade trigonométrica que leva a \cos(3\theta).

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Substituindo no integrando:
x^{3}-3xy^{2} = (r\cos\theta)^{3}-3\,(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2} = r^{3}\bigl(\cos^{3}\theta-3\cos\theta\,\sin^{2}\theta\bigr) = r^{3}\cos(3\theta).

Passo 3

A integral dupla passa a ser
\iint_{\mathcal{R}}(x^{3}-3xy^{2})\,dx\,dy =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{3}r^{3}\cos(3\theta)\;r\,dr\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos(3\theta)\,d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{1}^{3}r^{4}\,dr\Bigr).

Passo 4

O fator angular é
\int_{0}^{2\pi}\cos(3\theta)\,d\theta = 0
porque integra um cosseno numa volta inteira. Assim o produto das integrais é zero.

Resposta

0

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