3^{\text {a }} ) A parametrização \varphi(\theta, z)=(f(z) \cos \theta, f(z) \operatorname{sen} \theta, z) representa a superficie de rotação da função x=f(z), x \geq 0, do plano x z, em torno do eixo z. Considerando o cone reto de altura h e raio da base a, obtenha:
i. Seu volume
ii. Sua área lateral

Passo 1

O enunciado dá a parametrização de uma superfície de revolução em torno do eixo z:
\varphi(\theta,z)=\bigl(f(z)\cos\theta,\;f(z)\sin\theta,\;z\bigr),
onde 0\le\theta\le2\pi e 0\le z\le h. No caso do cone reto de altura h e raio da base a, a função que gera o perfil é
f(z)=\frac{a}{h}\,z.
Vamos usar essa parametrização para encontrar (i) o volume e (ii) a área lateral do cone.

Passo 2

Para o volume usamos o método dos discos: a seção transversal a altura z é um círculo de raio f(z), de área \pi [f(z)]^2. Assim
V=\int_{0}^{h}\pi\bigl[f(z)\bigr]^{2}\,dz.

Passo 3

Substituindo f(z)=\tfrac{a}{h}z na integral:
V =\int_{0}^{h}\pi\Bigl(\frac{a}{h}z\Bigr)^{2}dz =\pi\frac{a^{2}}{h^{2}}\int_{0}^{h}z^{2}\,dz =\pi\frac{a^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{h^{3}}{3} =\frac{\pi a^{2}h}{3}.

Passo 4

Para a área lateral usamos a fórmula da área de superfície de revolução:
A_{\text{lat}} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{h}\bigl\|\varphi_{\theta}\times\varphi_{z}\bigr\|\,dz\,d\theta =2\pi\int_{0}^{h}f(z)\,\sqrt{1+\bigl(f'(z)\bigr)^{2}}\;dz.

Passo 5

Aqui f(z)=\tfrac{a}{h}z implica f'(z)=\tfrac{a}{h}. Então
\sqrt{1+\bigl(f'(z)\bigr)^{2}} =\sqrt{1+\Bigl(\frac{a}{h}\Bigr)^{2}} =\frac{\sqrt{h^{2}+a^{2}}}{h}.
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A_{\text{lat}} =2\pi\int_{0}^{h}\frac{a}{h}z\;\frac{\sqrt{h^{2}+a^{2}}}{h}\,dz =2\pi\frac{a\sqrt{h^{2}+a^{2}}}{h^{2}}\int_{0}^{h}z\,dz =2\pi\frac{a\sqrt{h^{2}+a^{2}}}{h^{2}}\cdot\frac{h^{2}}{2} =\pi a\sqrt{h^{2}+a^{2}}.

Resposta

(i) V=\displaystyle\frac{\pi a^{2}h}{3}.
(ii) A_{\text{lat}}=\displaystyle\pi a\sqrt{h^{2}+a^{2}}.

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