3-4 Determine se a afirmação sobre o campo
é verdadeira ou falsa. Se falsa, explique por quê.
.
(a)
quando
.
(b)
estiver no eixo
positivo, o vetor aponta na direção e sentido do eixo
negativo.
(c)
estiver no primeiro quadrante, então o vetor aponta para baixo e para a direita.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por
. Precisamos verificar se três afirmações sobre esse campo são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como norma de vetores e direção dos vetores em diferentes regiões do plano.
Passo 2
Parte (a):
quando
.
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é calculada por:
Queremos ver o que acontece com essa norma quando
se aproxima de
.
À medida que
e
tendem a 0,
tende a 0 mais rápido que
. Portanto,
também tende a 0.
Então, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Parte (b): Se
estiver no eixo
positivo, o vetor aponta na direção e sentido do eixo
negativo.
Vamos analisar o que significa estar no eixo
positivo. Isso ocorre quando
e
.
Substituindo
na expressão de
:
Isso significa que o vetor tem somente componente na direção
, ou seja, aponta para baixo no eixo
negativo.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Parte (c): Se
estiver no primeiro quadrante, então o vetor aponta para baixo e para a direita.
No primeiro quadrante,
e
.
Vamos analisar as componentes do vetor:
- A componente
é positiva, indicando direção para a direita. - A componente
é negativa, indicando direção para baixo.
Logo, o vetor tem direção para a direita e para baixo, como afirmado.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira. A norma de
tende a 0 quando
se aproxima de
.
(b) Verdadeira. Se
estiver no eixo
positivo, o vetor aponta na direção do eixo
negativo.
(c) Verdadeira. Se
estiver no primeiro quadrante, o vetor aponta para baixo e para a direita.