3-4 Determine se a afirmação sobre o campo F(x, y) é verdadeira ou falsa. Se falsa, explique por quê.
F(x, y)=x^2 i-y j.
(a) |F(x, y)| 0 quando (x, y) (0,0).
(b) Se(x, y) estiver no eixo y positivo, o vetor aponta na direção e sentido do eixo y negativo.
(c) Se(x, y) estiver no primeiro quadrante, então o vetor aponta para baixo e para a direita.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por F(x, y) = x^2 i - y j. Precisamos verificar se três afirmações sobre esse campo são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como norma de vetores e direção dos vetores em diferentes regiões do plano.

Passo 2

Parte (a): |F(x, y)| 0 quando (x, y) (0,0).
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor F(x, y) = x^2 i - y j é calculada por:
|F(x, y)| = raiz(x^2)^2 + (-y)^2 = raizx^4 + y^2
Queremos ver o que acontece com essa norma quando (x, y) se aproxima de (0,0).
À medida que x e y tendem a 0, x^4 tende a 0 mais rápido que y^2. Portanto, raizx^4 + y^2 também tende a 0.
Então, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Parte (b): Se (x, y) estiver no eixo y positivo, o vetor aponta na direção e sentido do eixo y negativo.
Vamos analisar o que significa estar no eixo y positivo. Isso ocorre quando x = 0 e y > 0.
Substituindo x = 0 na expressão de F(x, y):
F(0, y) = 0^2 i - y j = -y j
Isso significa que o vetor tem somente componente na direção -j, ou seja, aponta para baixo no eixo y negativo.
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Parte (c): Se (x, y) estiver no primeiro quadrante, então o vetor aponta para baixo e para a direita.
No primeiro quadrante, x > 0 e y > 0.
Vamos analisar as componentes do vetor:
F(x, y) = x^2 i - y j
  • A componente x^2 i é positiva, indicando direção para a direita.
  • A componente -y j é negativa, indicando direção para baixo.
Logo, o vetor tem direção para a direita e para baixo, como afirmado.
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira. A norma de F(x, y) tende a 0 quando (x, y) se aproxima de (0,0).
(b) Verdadeira. Se (x, y) estiver no eixo y positivo, o vetor aponta na direção do eixo y negativo.
(c) Verdadeira. Se (x, y) estiver no primeiro quadrante, o vetor aponta para baixo e para a direita.

Exercícios relacionados